收藏
707

迪杰斯特拉算法

 编辑
本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目 审核 。
迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。[1]
中文名
迪克斯特拉算法
外文名
Dijkstra's Algorithm
分    类
计算机算法
用    途
单源最短路径问题

目录

  1. 1 定义
  2. 2 原理
  3. 3 问题描述
  4. 4 算法思想
  1. 5 算法实现
  2. ▪ pascal语言
  3. ▪ java语言
  4. ▪ C语言
  5. 6 堆优化
  1. ▪ 思考
  2. ▪ 实现
  3. ▪ 代码

定义

编辑
Dijkstra算法是典型的算法。Dijkstra算法是很有代表性的算法。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。[2]

原理

编辑
1.首先，引入一个辅助向量D，它的每个分量 D
 
表示当前所找到的
Dijkstra算法运行动画过程Dijkstra算法运行动画过程
从起始点
 
（即源点
 
）到其它每个顶点
 
的长度。
例如，D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。[1]
2.D的初始状态为：若从
 
到
 
有弧（即从
 
到
 
存在连接边），则D
 
为弧上的权值（即为从
 
到
 
的边的权值）；否则置D
 
为∞。
显然，长度为 D
 
= Min{ D |
 
∈V } 的路径就是从
 
出发到顶点
 
的长度最短的一条路径，此路径为(
 
)。
3.那么，下一条长度次短的是哪一条呢？也就是找到从源点
 
到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点，且这条最短路径长度仅次于从源点
 
到顶点
 
的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是
 
，则可想而知，这条路径要么是(
 
)，或者是(
 
)。它的长度或者是从
 
到
 
的弧上的权值，或者是D
 
加上从
 
到
 
的弧上的权值。
4.一般情况下，假设S为已求得的从源点
 
出发的最短路径长度的顶点的集合，则可证明：下一条次最短路径（设其终点为
 
）要么是弧(
 
)，或者是从源点
 
出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点
 
的路径。
因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D
 
= Min{ D
 
|
 
∈V-S }，其中D
 
要么是弧(
 
)上的权值，或者是D
 
(
 
∈S)和弧(
 
,
 
)上的权值之和。
算法描述如下：
1）令arcs表示弧上的权值。若弧不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到的从
 
出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从
 
出发到图上其余各顶点
 
可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,
 
)]，
 
∈V；
2）选择
 
，使得D
 
=Min{ D |
 
∈V-S } ；
3）修改从
 
出发的到集合V-S中任一顶点
 
的最短路径长度。[1]

问题描述

编辑
在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短值。[2]

算法思想

编辑
按路径长度递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
G={V,E}
1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

算法实现

编辑

pascal语言

下面是该算法的Pascal程序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
type
bool=array[1..10]ofboolean;
arr=array[0..10]ofinteger;
var
a:array[1..10,1..10]ofinteger;//存储图的邻接数组，无边为10000
c,d,e:arr;//c为最短路径数值,d为各点前趋,
t:bool;//e：路径，t为辅助数组
i,j,n,m:integer;
inf,outf:text;
procedureinit;//不同题目邻接数组建立方式不一样
begin
assign(inf,inputfile);
assign(outf,outputfile);
reset(inf);
rewrite(outf);
read(inf,n);
fori:=1tondo
begin
forj:=1tondo
begin
read(inf,a[i,j]);
ifa[i,j]=0then
a[i,j]:=10000;
end;
end;
end;
proceduredijkstra(qi:integer;t:bool;varc{,d}:arr);
//qi起点,{}中为求路径部分,不需求路径时可以不要
var
i,j,k,min:integer;
begin
t[qi]:=true;
//t数组一般在调用前初始,除起点外所有节点都化成false,也可将部分点初始化成true以回避这些点
fori:=1tondo
d[i]:=qi;
d[qi]:=0;
fori:=1tondo
c[i]:=a[qi,i];
fori:=1ton-1do
begin
min:=maxint;//改为最大值
forj:=1tondo
if(c[j]<min)andnott[j]then
begin
k:=j;
min:=c[j];
end;
t[k]:=true;
forj:=1tondo
if(c[k]+a[k,j]<c[j])andnott[j]then
begin
c[j]:=c[k]+a[k,j];
d[j]:=k;
end;
end;
end;
proceduremake(zh:integer;d:arr;vare:arr);//生成路径,e[0]保存路径
var
i,j,k:integer;//上的节点个数
begin
i:=0;
whiled[zh]<>0do
begin
inc(i);
e[i]:=zh;
zh:=d[zh];
end;
inc(i);
e[i]:=qi;
e[0]:=i;
end;
主程序调用：求长度：初始化t，然后dijkstra(qi,t,c,d)
求路径：make(m,d,e) ，m是终点

java语言

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
//初始化路径，都为最大值。
intpath[][]=newint[n+1][n+1];
for(inti=1;i<n+1;i++){
for(intj=1;j<n+1;j++)
path[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
}
//这里需要输入path[i][j]的具体内容，如果有重复数据的话，需要更新路径为最小值。
intminLen[]=newint[n+1];
//visit初始为0，防止回溯
intvisit[]=newint[n+1];
//初始化1到其他点的距离。
for(inti=1;i<n+1;i++){
minLen[i]=path[1][i];
}
voidDijkstra(){
minLen[1]=0;
visit[1]=1;
intminj=1;
for(inti=1;i<n+1;i++){
intmin=Integer.MAX_VALUE;
for(intj=1;j<n+1;j++){
if(visit[j]==0&&minLen[j]<min){
min=minLen[j];
minj=j;
}
}
visit[minj]=1;
for(intj=1;j<n+1;j++){
if(visit[j]==0&&minLen[minj]!=Integer.MAX_VALUE&&path[minj][j]!=
Integer.MAX_VALUE&&minLen[j]>(minLen[minj]+path[minj][j])){
minLen[j]=minLen[minj]+path[minj][j];
}
}
}
}

C语言

下面是该算法的C语言实现[1]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 11000000000
inta[1000][1000];
intd[1000];//d表示某特定边距离
intp[1000];//p表示永久边距离
inti,j,k;
intm;//m代表边数
intn;//n代表点数
intmain()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
intmin1;
intx,y,z;
for(i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
a[x][y]=z;
a[y][x]=z;
}
for(i=1;i<=n;i++)
d[i]=max1;
d[1]=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
min1=max1;
for(j=1;j<=n;j++)
if(!p[j]&&d[j]<min1)
{
min1=d[j];
k=j;
}
p[k]=j;
for(j=1;j<=n;j++)
if(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])
d[j]=d[k]+a[k][j];
}
for(i=1;i<n;i++)
printf("%d->",p[i]);
printf("%d\n",p[n]);
return0;
}
大学经典教材<<数据结构>>(C语言版 严蔚敏 吴为民 编著) 中该算法的实现
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
/*
测试数据 教科书 P189 G6 的邻接矩阵 其中 数字 1000000 代表无穷大
6
1000000 1000000 10 100000 30 100
1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10
1000000 1000000 1000000 20 1000000 60
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000
结果：
D[0]   D[1]   D[2]   D[3]   D[4]   D[5]
 0   1000000   10     50     30     60
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAX 1000000
using namespace std;
int arcs[10][10];//邻接矩阵
int D[10];//保存最短路径长度
int p[10][10];//路径
int final[10];//若final[i] = 1则说明 顶点vi已在集合S中
int n = 0;//顶点个数
int v0 = 0;//源点
int v,w;
void ShortestPath_DIJ()
{
     for (v = 0; v < n; v++) //循环 初始化
     {
          final[v] = 0; D[v] = arcs[v0][v];
          for (w = 0; w < n; w++) p[v][w] = 0;//设空路径
          if (D[v] < MAX) {p[v][v0] = 1; p[v][v] = 1;}
     }
     D[v0] = 0; final[v0]=0; //初始化 v0顶点属于集合S
     //开始主循环 每次求得v0到某个顶点v的最短路径 并加v到集合S中
     for (int i = 1; i < n; i++)
     {
          int min = MAX;
          for (w = 0; w < n; w++)
          {
               //我认为的核心过程--选点
               if (!final[w]) //如果w顶点在V-S中
               {
                    //这个过程最终选出的点 应该是选出当前V-S中与S有关联边
                    //且权值最小的顶点 书上描述为 当前离V0最近的点
                    if (D[w] < min) {v = w; min = D[w];}
               }
          }
          final[v] = 1; //选出该点后加入到合集S中
          for (w = 0; w < n; w++)//更新当前最短路径和距离
          {
               /*在此循环中 v为当前刚选入集合S中的点
               则以点V为中间点 考察 d0v+dvw 是否小于 D[w] 如果小于 则更新
               比如加进点 3 则若要考察 D[5] 是否要更新 就 判断 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小于D[5]
               */
               if (!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))
               {
                    D[w] = min + arcs[v][w];
                   // p[w] = p[v];
                    p[w][w] = 1; //p[w] = p[v] +　[w]
               }
          }
     }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
         for (int j = 0; j < n; j++)
         {
              cin >> arcs[i][j];
         }
    }
    ShortestPath_DIJ();
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("D[%d] = %d\n",i,D[i]);
    return 0;
}

堆优化

编辑

思考

该算法复杂度为n^2,我们可以发现，如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，取出最短路径的复杂度降为O(1)；每次调整的复杂度降为O（elogn）；e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。

实现

1. 将与源点相连的点加入堆，并调整堆。
2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。
3. 处理与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点
1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。
2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。
4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
procedureDijkstra;
var
u,v,e,i:longint;
begin
fillchar(dis,sizeof(dis),$7e);//距离
fillchar(Inh,sizeof(Inh),false);//是否在堆中
fillchar(visit,sizeof(visit),false);//是否访问过
size:=0;
e:=last[s];
whilee<>0do//步骤1
begin
u:=other[e];
ifnot(Inh[u])then//不在堆里
begin
inc(size);
heap[size]:=u;
dis[u]:=cost[e];
Loc[u]:=size;//Loc数组记录元素在堆中的位置
Inh[u]:=true;
Shift_up(Loc[u]);//上浮
end
else
ifcost[e]<dis[u]then//在堆里
begin
dis[u]:=cost[e];
Shift_up(Loc[u]);
Shift_down(Loc[u]);
end;
e:=pre[e];
end;
visit[s]:=true;
whiletruedo
begin
u:=heap[1];//步骤2
ifu=tthenbreak;//步骤4
visit[u]:=true;
heap[1]:=heap[size];
dec(size);
Shift_down(1);
e:=last[u];
whilee<>0do//步骤3
begin
v:=other[e];
ifNot(visit[v])and(dis[u]+cost[e]<dis[v])then//与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点
ifInh[v]then//在堆中
begin
dis[v]:=dis[u]+cost[e];
Shift_up(Loc[v]);
Shift_Down(Loc[v]);
end
else//不再堆中
begin
inc(size);
heap[size]:=v;
dis[v]:=dis[u]+cost[e];
Loc[v]:=size;
Inh[v]:=true;
Shift_up(Loc[v]);
end;
e:=pre[e];
end;
end;
writeln(dis[t]);
end;
参考资料
  • 1.  最短路径  ．nocow[引用日期2013-08-19]
  • 2.  最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法  ．博客园[引用日期2014-11-28]
词条标签：
中国电子学会 ， 计算机学