一个很经典的问题，从 2 到 N ，一共有多少个质数？？

一个非常 Naive 的方法，从 2 到 N，判断每个数是不是质数

只判断一个数是不是质数，需要

的时间，现在有 N 个数，那么就是

埃拉托斯特尼筛法

这是一种简单且历史悠久的筛法，用来找出一定范围内所有的素数。

def get_primes1(n:int) -> list:'''return a list containing all the primes less than n'''if n <= 2:return []isprime = [True for _ in range(n)]result = [2]for i in range(3, n, 2):if isprime[i]:result.append(i)for j in range(i * i, n, 2 * i):  # for (int j = i * i; j < n; j += 2 * i)isprime[j] = Falsereturn result

这个算法的高效实现需要注意几个细节：

第一点，略过所有的偶数！（这也是为什么

从 3 开始取）

第二点，为什么

要从

开始取值（因为

这个合数已经被筛掉了）

第三点，对于任意一个正整数

，有

、

.... 都是合数

此外，还要注意，算法涉及 N （至少 N / 2，存储上可以略过偶数）个 bool类型的存储，一般的编程语言bool类型的存储需要 1 个 byte（8个 bit ）。如果对存储有要求的话，尽量使用 bitmap 这一数据类型（python 没有内置的 bitmap，Java 有）

总的时间复杂度是

，接近线性时间复杂度。空间复杂度

。

上述python代码，亲测（垃圾 cpu），能在 2s 内输出一千万以内的所有质数，能在 20s 的时间内输出一亿以内的所有质数（五百多万个）

此外，分析一下存储需要。一亿个int32类型（4 个 byte）需要接近400M（大约是380M多一点）的存储空间，存五百多万个质数不值一提对吧。那么一亿个bool类型，就是 100M。注意一下python的bool类型继承自int，所以一亿个True还是要 400M的。Java 就不一样哈。

想在python中使用只占用一个 byte 的bool型，参见array标准库。

所以大致情况就是在个人电脑上用python可以计算1亿以内的质数，再大一个数量级就不行了！

计算机存储单位一般用 bit, byte, KB, MB, GB, TB, PB, EB, ZB, BB 来表示， 我们经常将byte简称为B，将KB简称问K

那有没有再快一点的算法？？？！！！

欧拉筛法

其实思想是类似的，与埃氏筛相比，不会对已经被标记过的合数再进行重复标记，故效率更高。欧拉筛将合数分解为 (最小质因数 * 一个合数) 的形式，通过最小质因数来判断当前合数是否已经被标记过。

def get_primes2(n: int) -> list:"""return a list containing all prime numbers less than n."""if n <= 2:return []isprime = [True for _ in range(n)]result = [2]for i in range(3, n, 2):if isprime[i]:result.append(i)for j in range(0, len(result)):if i * result[j] >= n:breakisprime[i * result[j]] = Falseif i % result[j] == 0:breakreturn result

时间复杂度被优化到了

参考资料：