如何通俗的理解伽马(gamma)函数 - 直觉，求导和示例

我为什么要在乎garmma分布？

使用伽马函数定义了许多概率分布，例如伽马分布，Beta分布，狄利克雷分布，卡方分布和学生t分布等。 对于数据科学家，机器学习工程师，研究人员来说，伽马函数可能是一种最广泛使用的功能，因为它已在许多分布中使用。然后将这些分布用于贝叶斯推理，随机过程(例如排队模型)，生成统计模型(例如潜在狄利克雷分配)和变分推理。因此，如果您很好地了解了Garmma功能，您将对其中出现的许多应用程序有更好的了解！

1.为什么需要伽玛功能？因为我们要泛化阶乘！

阶乘函数仅针对离散点(对于正整数-上图中的黑点)定义，但是我们希望连接黑点。我们想将阶乘函数扩展到所有复数。阶乘的简单公式x！= 1 * 2 … x，不能直接用于小数值，因为它仅在x是整数时才有效。 因此，数学家一直在寻找...“什么样的function将这些点平滑地连接起来，并为我们提供所有实际值的阶乘?”

但是，他们找不到可以表示x的和，乘积，幂，指数或对数的* 有限*组合！直到…的实数.

2.欧拉发现了伽玛函数。(在18世纪)

上面的公式用于找到z的任何实数值的Gamma函数的值。 假设您要计算Γ(4.8)。您将如何解决上述整合？ 可以手动计算Γ(4.8)吗？也许使用零件积分？

试试看，让我知道您是否找到有趣的方式！对于我(以及到目前为止的许多其他人)而言，没有快速简便的方法手动评估分数的Gamma函数。(如果您有兴趣用手解决它，这是一个很好的起点。) 好吧，那么就不用分析了。您能否实现从0到无穷大的积分-以编程方式添加术语“无限次”？

您可以通过几种方法来实现。最常用的两种实现是斯特林近似 和Lanczos近似。[For implementation addicts:] For implementation addicts: the codes of Gamma function (mostly Lanczos approximation) in 60+ different language - C, C++, C#, python, java, etc.

让我们计算Γ(4.8)使用计算机在已经实现的。

我们得到了17.837。 正如我们所期望的，17.837介于3！(=Γ(4)= 6)和4！(=Γ(5)= 24)之间。 (当z是自然数时，Γ(z)=(z-1)！我们将很快证明这一点。) 与只需要正整数的阶乘不同，我们可以将任何实数/复数输入z，包括负数。Gamma函数连接黑点，并很好地绘制曲线。Confusion-buster: 我们正在积分从0到无穷大的x(NOT z)。 • x是正在集成的辅助变量。 • 我们没有将4.8插入x。我们将4.8插入z。

3. Gamma函数如何对阶乘函数进行插值？

如果看一下Gamma函数，您会注意到两件事。 首先，相对于z，它绝对是一个递增函数。 其次，当z是自然数时，Γ(z + 1)= z！ (我保证我们会尽快证明这一点！) 因此，我们可以期望Gamma函数连接阶乘。

Gamma函数如何以当前项x ^ z和e ^ -x结束？ 我不确切知道欧拉的思维过程是什么，但是他是发现自然数e的那个人，因此他必须做很多实验，将e与其他函数相乘才能找到当前形式。

4. Gamma函数的图形是什么样的？

当x变为无穷大∞时，第一项(x ^ z)也变为无穷大∞，但是第二项(e ^ -x)变为零。然后，伽玛函数会收敛到有限值吗？

我们可以使用L'Hôpital规则严格证明它收敛。但是我们也可以毫不费力地看到它的融合。如果您考虑一下，我们正在积分x ^ z(一个多项式递增函数) 和e ^ -x(一个 指数递减函数)的乘积。因为e ^ -x的值 下降快于x ^ z的值，所以Gamma函数很可能收敛并具有有限的值。 让我们绘制每个图形，因为眼见为实。

x ^ z * e ^ -x的图 让我们看一下Γ(4.8)的情况。

图下绿色阴影区域从0到无穷大，Γ(4.8)= 3.8！ Python代码用于生成上面的漂亮图。自己绘制，看看z如何改变Gamma函数的形状！

########################

# f(x) = exp(-x) graph #

########################

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

# Create x and y

x = np.linspace(-2, 20, 100)

y = np.exp(-x)

# Create the plot

fig, ax = plt.subplots()

plt.plot(x, y, label='f(x) = exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')

# Make the x=0, y=0 thicker

ax.set_aspect('equal')

ax.grid(True, which='both')

ax.axhline(y=0, color='k')

ax.axvline(x=0, color='k')

# Add a title

plt.title('f(x) = exp(-x)', fontsize=20)

# Add X and y Label

plt.xlabel('x', fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)

# Add a grid

plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')

# Show the plot

plt.show()

####################

# f(x) = x^z graph #

####################

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

# Create x and y

x = np.linspace(0, 2, 100)

y1 = x**1.3

y2 = x**2.5

y3 = x**3.8

# Create the plot

fig, ax = plt.subplots()

plt.plot(x, y1, label='f(x) = x^1.3', linewidth=3, color='palegreen')

plt.plot(x, y2, label='f(x) = x^2.5', linewidth=3, color='yellowgreen')

plt.plot(x, y3, label='f(x) = x^3.8', linewidth=3, color='olivedrab')

# Make the x=0, y=0 thicker

ax.set_aspect('equal')

ax.grid(True, which='both')

ax.axhline(y=0, color='k')

ax.axvline(x=0, color='k')

# Add a title

plt.title('f(x) = x^z', fontsize=20)

# Add X and y Label

plt.xlabel('x', fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)', fontsize=16)

# Add a grid

plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')

# Add a Legend

plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='best', borderaxespad=1, fontsize=12)

# Show the plot

plt.show()

###############################

# f(x) = x^(3.8)*e^(-x) graph #

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import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

# Create x and y

x = np.linspace(0, 20, 100)

y = x**3.8 * np.exp(-x)

# Create the plot

fig, ax = plt.subplots()

plt.plot(x, y, label='f(x) = x^(3.8) * np.exp(-x)', linewidth=3, color='palegreen')

ax.fill_between(x, 0, y, color='yellowgreen')

# Make the x=0, y=0 thicker

ax.set_aspect('equal')

ax.grid(True, which='both')

ax.axhline(y=0, color='k')

ax.axvline(x=0, color='k')

# Add a title

plt.title('f(x) = x^(3.8)*e^(-x) ', fontsize=20)

# Add X and y Label

plt.xlabel('x', fontsize=16)

plt.ylabel('f(x)' ,fontsize=16)

# Add a grid

plt.grid(alpha=.4, linestyle='--')

# Add a Legend

plt.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc='upper right', borderaxespad=1, fontsize=12)

# Show the plot

plt.show()

5.伽玛函数属性

如果您从这篇文章中删除一件事，应该是本节。

> 给定z> 1 Γ(z)=(z-1)*Γ(z-1) 或将其写为 Γ(z + 1)= z *Γ(z)

让我们使用部分集成和Gamma函数的定义来证明它.

如果n是一个正整数 C(n)=(n-1)！

什么是Γ(1) ？

因此，Γ(n)=(n-1)！

您可能还已经看到表达式Γ(n + 1)= n！而不是 Γ(n)=(n-1)！。 这只是使右手边n！，而不是(n-1)！ 我们所做的就是将n移1。

6.使用Gamma函数的属性，显示Gamma分布的PDF积分为1。

快速回顾一下Gamma“分布”(不是Gamma“函数”！)：Gamma分布直觉和推导。 证明如下：

问答：伽玛功能多大了？ 很老。大约300年。(您是否正在研究将在300年后使用的东西？；) 有趣的旁注：欧拉(Euler)在64岁时失明，但是在失明后他完成了近一半作品。

一些有趣的价值观： C(1/2)=平方( ) 许多有趣的方式来表明这一点： Γ(1/2) = sqrt( ) Γ(-1) = Γ(-2) = Γ(-3) = infinity 你能证明这些吗？ 3.这是快速查看Gamma函数图的实数。

伽马函数Γ(z)用蓝色绘制，而Γ(z)+ sin(πz)用绿色绘制。(请注意正整数处的交点，因为sin(πz)为零！)两者都是对非整数的阶乘分解的有效解析延续。