2点三次Hermite插值多项式解析

1.问题的提法 分段三次Hermite插值多项式存在唯一 三.分段三次Hermite插值 2.分段三次Hermite插值的表达式 当 x∈[xi，xi+1]时, 两点Hermite插值 ( i= 0,1,2,···,n-1) 定理： 设 f(x)在[a,b]上具有四阶连续导数，S3(x)是其分段三次Hermite插值函数，则对任一给定的 , 有 * 第四节 Hermite 插值多项式 要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足 在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 把此类插值多项式称为埃米尔特(Hermite) 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。 两点三次Hermit插值 已知： 构造一个次数?3的多项式H3(x) ，满足插值条件： (*) 两点三次Hermit插值(续1) 直接设 待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数 使之满足 5 两点三次Hermit插值(续2) 其中 都是次数为3的多项式 则H3(x)是一个次数?3的多项式且满足插值条件(*) 基函数求法： 求 3 同理 设 由β'0(x0)=1 ，得 , 于是 同理有 定理：满足插值条件(*)的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。 三次Hermite插值多项式的余项 定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存在四阶导数，则对任意x?[a,b] ，总存在一个??(a, b)(?依赖于x)使 证明: 由插值条件知 R3(x0)=R3'(x0)=0, R3(x1)=R3'(x1)=0 构造辅助函数 利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 取 x 异于 x0 和 x1, 设 反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为ξ∈(a, b) 显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0