一日不见如隔三秋，本人觉得有界变差函数是实变函数中最容易理解且和高等数学联系最紧密的一个概念，其在概率论中也有非常广泛的应用，也和勒贝格空间有着千丝万缕的联系。

什么叫有界变差函数？若在区间(a，b)中，函数f(x)能够表成Φ(x)一Ψ(x)的形状，而Φ与Ψ都是非减有界函数，则称f(x)在(a，b)中是有界变差的。易见两个界变差函数的和、差与积也都是有界变差的。这是若尔当分解定理的定义，当然还有别的定义。

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有界变差函数的全变差有着不少与积分类似的特征。初看此定义似乎与分布函数风马牛，然而你若仔细考察一下分布函数的特征就会发现，分布函数是(-∞，+∞)上取值不超过1的单调递增的非负右连续函数，显而易见，任何闭区间上的单调递增函数是有界变差函数，所以分布函数是任意有限闭区间上的有界变差函数。

为啥要引入这个有点莫名其妙的有界变差函数？说来话长，它最早是Jordan为了研究曲线长度引进的。如果你学过微积分的话，你该知道，当一个函数连续可微时，是可以利用Riemann积分计算它的弧长的，还记得弧长公式吗？闭区间上是否只有连续可微函数的曲线才是可求长的呢？或者说，如果一条曲线是某个函数的图像，它可求长的充要条件是什么？这个条件正是有界变差函数。当然，如果有界变差函数仅仅充当了保证曲线可求长的角色，它也就没有如此大的魅力了。与有界变差函数相关的另一个重要问题是Newton-Leibniz公式成立的充要条件是什么？不难找到这样的反例：一个函数即使几乎处处可导，其导函数未必可以还原这个函数，换句话说，Newton-Leibniz公式可能不成立，这就引出了另一类更特殊的函数：绝对连续函数。

从有界变差函数过度到绝对连续函数在逻辑上是自然的，没有任何困难，以Newton-Leibniz公式成立与否作为媒介就可以。但大多数的教材并没有将有界变差函数的来龙去脉交代清楚，往往注重在证明的细枝末节上，所以需要重点讲清楚如下几个问题：

1、为什么会出现有界变差函数？这个问题在上面已经做了简单介绍。

2、有界变差函数与分布函数之间的关系是什么？实际上有界变差函数中真正难以处理的部分是奇异部分，即导数几乎处处等于0的函数，例如(-∞，+∞)上最大值为1的非负右连续阶跃函数就是个奇异分布函数。如果所有的分布函数都可以写成Riemann积分或Lebsgue积分的形式，也许概率论就不需要测度论了，但老天爷总是爱捉弄人，很多时候必须“将简单问题复杂化”。搞清楚有界变差函数的结构，分布函数的结构自然就清楚了。

3、有界变差函数的结构性分解。分解包括两类，一类是Jordan分解，即任何有界变差函数可以分解成两个单调递增函数之差；另一类是Lebesgue分解，即任何有界变差函数都可以分解成绝对连续函数与奇异函数之差。Jordan分解定理没有多少难度，但Lebsgue分解的证明有技术上的难度，可以结合直观分析进行。有界变差函数的Lebsgue分解是抽象测度的Lebsgue分解定理的基础，讲不清楚这个分解，就很难搞清楚抽象测度的Lebsgue分解定理的本质，也难以理解为什么要定义Lebsgue-Stiljes积分。