之所以要定义弧度制,是因为它的单位相比角度制有很大的优越性.

弧度的大小是两个长度之比,长度的单位是统一的,所以相比以后,可以认为弧度的单位为1,即以实数单位为单位. 弧度可以看做导出单位.

而角度制则不然,角度制单位是1/360周角,然而,1/360是怎么来的?为什么是周角除360而不是其它的数呢?这只有一个解释：周角/360,即1°是人们根据当时的条件和需要规定的（就如人们为了计算长度而规定了1m一样）.这就意味着角度相当于一个基本单位,是不能用通过公式用其它基本单位（如长度，时间）来导出的.

我们知道，只有同量纲的量才能相加减. 弧度与三角函数都是长度之比，因而具有相同的量纲. 这使得弧度和三角函数值相加减有意义，这是它最大的优越性之一. 角度不是长度之比，因而就绝对不能和三角函数值相加减.

在中学数学中，我们还难以看到弧度制的优越性，如果学了微分以后，有一个微分近似计算公式，它是△y≈f'(x)△x
也可写作 f(x+△x)≈f(x)+f'(x)△x
其中△x越小就越精确. 如果取f(x)=sin x
那么Sin(x+△x)≈Sin(x)+Cos(x)△x
利用这一公式，就可以容易地计算出Sin31°的值了.　计算时，必须使用弧度制，否则△x为角度制单位，那么Sin(x)+Cos(x)△x没有意义，更别说和Sin(x+△x)相等了. 
你可以试一试，用角度制，把角度单位错误地看作1,算算误差有多大. 再用弧度制，误差不到0.001 .