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743. 网络延迟时间
题目描述
有 N 个网络节点，标记为 1 到 N。
给定一个列表 times，表示信号经过有向边的传递时间。 times[i] = (u, v, w)，其中 u 是源节点，v 是目标节点， w 是一个信号从源节点传递到目标节点的时间。
现在，我们从某个节点 K 发出一个信号。需要多久才能使所有节点都收到信号？如果不能使所有节点收到信号，返回 -1。
样例
输入：times = [[2,1,1],[2,3,1],[3,4,1]], N = 4, K = 2输出：2
数据范围
N 的范围在 [1, 100] 之间。
K 的范围在 [1, N] 之间。
times 的长度在 [1, 6000] 之间。
所有的边 times[i] = (u, v, w) 都有 1 <= u, v <= N 且 0 <= w <= 100。
算法
图论的题目一般是 3 步，建图 -> 图论算法 -> 后处理。
本题也是一样的思路：先建邻接表，然后求单源最短路，然后根据找到的各个点的最短路，找到从起始点出发可以到达的最远的距离。
一般比较难的题目难点都是在建图这一步。有的是非常隐晦的图论问题，想不到建图处理，例如 127. 单词接龙；有的是建图过程中 corner case 非常多，很容易漏，例如 444. 序列重建。成功完成建图之后(一般是建邻接表比较多)，之后的图论算法就比较模板化了。
当边的权都相同时，求最短路直接一趟 BFS就可以，典型题目 1091. 二进制矩阵中的最短路径。当边权不同的时候有以下几种。
dijkstra 数组实现: O(E + V^2)，有贪心思想，不能处理负权
dijkstra 堆实现: O(ElogV + VlogV)，有贪心思想，不能处理负权
bellman ford: O(VE), 可以处理负权，可以检测负环
spfa: O(VE), bellman ford 的优化, 可以处理负权，可以检测负环
floyd: O(V^3) 可以把所有点之间的最短路径求出，如果求多源最短路，时间复杂度可摊销
如果没有负权的话，一般使用 dijkstra 最好。
代码(c++)
代码框架就是 建立邻接表 -> 单源最短路算法 -> 后处理
单源最短路算法的 5 种算法都是模板，对应的实现在引申部分
class Solution {
public:int networkDelayTime(vector<vector<int>>& times, int N, int K) {vector<vector<vector<int> > > g(N + 1);for(vector<int> &edge: times)g[edge[0]].push_back({edge[1], edge[2]});// 求带权邻接表的最短路vector<int> d = dijkstra_array(g, K, N);// vector<int> d = dijkstra_heap(g, K, N);// vector<int> d = bellman_ford(g, K, N);// vector<int> d = spfa(g, K, N);// vector<int> d = floyd(g, K, N);int res = 0;for(int i = 1; i <= N; i++){if(d[i] == -1)return -1;res = max(res, d[i]);}return res;}
};
引申: 权邻接表的单源最短路模板代码
接口：
// g 是建好的邻接表，start 是起始点，N 是节点个数； 返回各个点到 start 的最短路径
vector<int> shortest_path(vector<vector<vector<int> > >& g, int start, int N)；
5个算法的接口都一样，下面是对应的模板代码，原理部分没有展开。
如果能够将问题转化成模板问题，再套模板就轻松愉快了。这个有点类似下棋或者炒菜的背谱，只会背谱肯定是不好的，但是背谱可以快速下出挑不出什么毛病的棋，快速炒出80分的菜。
1. dijkstra 数组实现
vector<int> dijkstra_array(vector<vector<vector<int> > >& g, int start, int N)
{// dijkstra 数组实现 O(E + V^2)// 不能有负权// 存放 start 到各个点的最短路径vector<int> d(N + 1, -1);d[start] = 0;// 记录是否找到 start 到该点的最短路径vector<bool> visited(N + 1, false);visited[start] = true;// 初始化 start 到各个点的距离for(vector<int> son: g[start])d[son[0]] = son[1];for(int cnt = 1; cnt <= N - 1; ++cnt){int min_val = INT_MAX / 2, min_idx = 0;// 遍历所有节点，找到离 start 最近的节点for(int i = 1; i <= N; ++i){if(d[i] != -1 && !visited[i] && d[i] < min_val){min_idx = i;min_val = d[i];}}// 标记离 start 最近距离节点已经找到visited[min_idx] = true;// 根据刚刚找到的距离 start 最短的节点，// 通过该节点更新 start 与其它节点的距离for(vector<int> son: g[min_idx]){if(d[son[0]] != -1) // 之前路径与当前更新路径的最小值d[son[0]] = min(d[son[0]], min_val + son[1]);else // 该节点第一次访问，直接更新d[son[0]] = min_val + son[1];}}return d;
}
2. dijkstra 堆实现
vector<int> dijkstra_heap(vector<vector<vector<int> > >& g, int start, int N)
{// dijkstra 堆实现 O(ElogV + VlogV)// 不能有负权// 存放 start 到各个点的最短路径vector<int> d(N + 1, INT_MAX / 2);d[start] = 0;priority_queue<vector<int>, vector<vector<int> >, Cmp> pq; // 队列元素 (节点编号，到 start 的距离)pq.push({start, 0});while(!pq.empty()){vector<int> cur = pq.top();pq.pop();if(d[cur[0]] < cur[1]) continue;for(vector<int> son: g[cur[0]]){if(d[son[0]] <= d[cur[0]] + son[1]) continue;d[son[0]] = d[cur[0]] + son[1];pq.push({son[0], d[son[0]]});}}return d;
}struct Cmp
{bool operator() (const vector<int>& item1, const vector<int>& item2){return item1[1] > item2[1]; // 最小堆}
};
3. bellman ford
松弛操作，它的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”
vector<int> bellman_ford(vector<vector<vector<int> > >& g, int start, int N)
{// bellman ford O(VE)// 可以检测负环vector<int> d(N + 1, -1);d[start] = 0;// 进行 N - 1 轮松弛// 因为任意两点之间最短路最多包含 N - 1 条边for(int cnt = 1; cnt <= N - 1; ++cnt){// u: 源节点，v: 子节点, w: uv 的权for(int u = 1; u <= N; ++u){if(d[u] == -1) continue;for(vector<int> &son: g[u]){int v = son[0], w = son[1];// 判断能否通过 u -> v 缩短 d[v] (松弛)if(d[u] + w < d[v] || d[v] == -1)d[v] = d[u] + w;}}}/* 可以检测负环for(int u = 1; u <= N; ++u){for(vector<int> &son: g[u]){int v = son[0], w = son[1];if(d[u] + w < d[v])// 有负环}}*/return d;
}
4. spfa
SPFA算法的基本思想：在Bellman-Ford算法中，很多松弛操作其实都是没有必要的，例如对于一条从 x 到 y 的边，如果连 x 都还没被松弛，那 y 肯定也还不能被 x 松弛。用一个队列来存储已经被松弛过的点，然后用队列里的点去松弛其他点，就可以避免用一个还没有被松弛的点去松弛另外的点。
vector<int> spfa(vector<vector<vector<int> > >& g, int start, int N)
{// 与 bellman ford 相同, O(VE)// 可以检测负环vector<int> d(N + 1, -1);d[start] = 0;queue<int, list<int> > q;q.push(start);// 记录每个点到 start 的节点个数vector<int> cnt(N + 1, 0);cnt[start] = 1;while(!q.empty()){int cur = q.front();q.pop();for(vector<int> &son: g[cur]){if(d[son[0]] == -1 || d[son[0]] > d[cur] + son[1]){cnt[son[0]] = cnt[cur] + 1;if(cnt[son[0]] > N) return d; // 若 son 到 start 的节点个数大于 N 了说明有负环// 当最短距离发生变化且不在队列中时，将该节点加入队列d[son[0]] = d[cur] + son[1];q.push(son[0]);}}}return d;
}
5. floyd
vector<int> floyd(vector<vector<vector<int> > >& g, int start, int N)
{// floyd 需要邻接矩阵 O(V^3)// 可以做多源最短路vector<vector<int> > adj_matrix(N + 1, vector<int>(N + 1, -1));for(int i = 1; i <= N; ++i)adj_matrix[i][i] = 0;for(int u = 1; u <= N; ++u)for(vector<int> son: g[u])adj_matrix[u][son[0]] = son[1];// 遍历所有节点，其中 k 是用于松弛的点for(int k = 1; k <= N; ++k)for(int i = 1; i <= N; ++i)for(int j = 1; j <= N; ++j)// 使用 k 松弛 i -> j 的最短路径if(adj_matrix[i][k] != -1 && adj_matrix[k][j] != -1){if(adj_matrix[i][j] != -1)adj_matrix[i][j] = min(adj_matrix[i][j], adj_matrix[i][k] + adj_matrix[k][j]);elseadj_matrix[i][j] = adj_matrix[i][k] + adj_matrix[k][j];}vector<int> d(N + 1, -1);for(int i = 1; i <= N; ++i)d[i] = adj_matrix[start][i];return d;
}
