AVL——平衡搜索树

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💬<4>前言：AVL树是对二叉搜索树的严格高度控制，所以AVL树的搜索效率很高，但是这是需要付出很大的代价的，要维护父亲指针，和平衡因子。

目录

一.AVL的概念

二. AVL树节点及整体结构的定义

 三. AVL树的插入

1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

2.根据插入的位置调整平衡因子

四.AVL树的旋转

1.左单旋

2.右单旋

3.左右双旋

4.右左双旋

5.总结：

五.AVL树的删除(了解)

六.AVL树的性能

七.完整代码及测试

一.AVL的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O(log{_{2}}^{n})，搜索时间复杂度O(log{_{2}}^{n})

二. AVL树节点及整体结构的定义

//AVL树结点
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(pair<K,V> kv):_kv(kv),_bf(0),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}pair<K, V> _kv;              //Key/Value数据int _bf;                     //平衡因子AVLTreeNode<K, V>* _left;    //结点的左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;   //结点的右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //结点的双亲
};//AVL树定义
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(pair<K,V> kv){}
private:Node* _root = nullptr;
};

 三. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

插入过程：

1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

    bool insert(pair<K,V> kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;//记录当前结点Node* parent = nullptr;//记录父亲结点while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//找到了合适的位置，创建新节点，出入位置cur = new Node(kv);//修改新节点的指向if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//未完待续....}

2.根据插入的位置调整平衡因子

平衡因子：右子树高度减去左子树高度。

cur 插入后，parent 的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

  1.  如果cur插入到parent的左侧，只需给parent的平衡因子-1即可
  2. 如果cur插入到parent的右侧，只需给parent的平衡因子+1即可

此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

  1. 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足  AVL树的性质，插入成功。
  2. 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此 时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。
  3. 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。
while (parent){//cur插入到parent的左侧if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else//cur插入到parent的右侧{parent->_bf++;}//需向上调整平衡因子if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1){cur = parent;parent = cur->_parent;}//无需向上调整平衡因子else if(parent->_bf==0){break;}//无需向上调整平衡因子，直接旋转处理else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2){//旋转,旋转之后平衡因子已经平衡，可以直接推出break;}else//出现的其他的错误情况{assert(0);}}

四.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1.左单旋

新节点插入较高右子树的右侧

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到60的右子树中，30右子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让30平衡，只能将30右子树的高度减少一层，左子树增加一层，即将右子树往上提，这样30转下来，因为30比60小，只能将其放在60的左子树，而如果60有左子树，左子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在30的右子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  • 60节点的左孩子可能存在，也可能不存在。
  • 30可能是整棵树根节点，也可能是子树根节点。

  如果是整棵树根节点，旋转完成后，要更整棵树新根节点；如果是子树根节点，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。

    void RotateL(Node* parent){//  a//     b//        c//找到需要旋转的结点Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;//调整结点，并且修改其父亲结点指针parent->_right = curRL;if (curRL)//可能为空{curRL->_parent = parent;}//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲Node* pparent = parent->_parent;//修改子树根节点curR->_left = parent;parent->_parent = curR;//子树根节点有可能是整棵树的根节点if (pparent == nullptr){_root = curR;_root->_parent = nullptr;}else//子树根节点不是整棵树的根节点{//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curR;}else{pparent->_right = curR;}curR->_parent = pparent;}//修改平衡因子curR->_bf = parent->_bf = 0;}

2.右单旋

新节点插入较高左子树的左侧

 右单旋过程和左单旋转过程一模一样仅仅只是反过来。

    void RotateR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;parent->_left = curLR;if (curLR){curLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent;curL->_right = parent;parent->_parent = curL;if (parent == _root){_root = curL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curL;}else{pparent->_right = curL;}curL->_parent = pparent;}curL->_bf = parent->_bf = 0;}

3.左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

 将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

注意：旋转之前，60的平衡因子可能是 -1 / 0 / 1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整。

 当h=0,时60自己就是一个新插入的结点，此时他的平衡因子就是。

所以旋转之前，需要保存curLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子。

    void RotateLR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;//旋转之前，保存curLR的平衡因子，旋转完成之后，//需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int curLR_bf = curLR->_bf;//先左单旋RotateL(curL);//再右单旋RotateR(parent);//保存curLR的平衡因子，判断插入结点的位置，根据插入结点的位置，//判断出其他结点的平衡因子if (curLR_bf == -1){parent->_bf = 1;curLR->_bf = 0;curL->_bf = 0;}else if (curLR_bf == 1){parent->_bf = 0;curL->_bf = -1;curLR->_bf = 0;}else if (curLR_bf == 0){parent->_bf = 0;curL->_bf = 0;curLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

4.右左双旋

右左双旋和左右双旋过程一模一样，仅仅只是反过来。

    void RotateRL(Node* parent){Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;int curRL_bf = curRL->_bf;RotateR(curR);RotateL(parent);if (curRL_bf == -1){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 1;}else if (curRL_bf == 1){parent->_bf = -1;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else if (curRL_bf == 0){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

5.总结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为curR

  • 当curR的平衡因子为1时，执行左单旋
  • 当curR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为curL

  • 当curL的平衡因子为-1是，执行右单旋
  • 当curL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

        //调整平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上调整平衡因子{cur = parent;parent = cur->_parent;}else if(parent->_bf==0)//无需向上调整平衡因子{break;}else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//无需向上调整平衡因子，直接旋转{if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1){RotateL(parent);//左单旋}else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1){RotateR(parent);//右单旋}else if (parent->_bf == 2 && parent->_left->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左双旋}else if (parent->_bf == -2 && parent->_left ->_bf== 1){RotateLR(parent);//左右双旋}else{assert(false);//其他错误情况}break;}else{assert(0);}

五.AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不
错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现学生们可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

六.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log{_{2}}^{n}。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

七.完整代码及测试

AVL.hpp

#pragma once
#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode(pair<K,V> kv):_kv(kv),_bf(0),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr){}pair<K, V> _kv;              //Key/Value数据int _bf;                     //平衡因子AVLTreeNode<K, V>* _left;    //结点的左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;   //结点的右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //结点的双亲
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool insert(pair<K,V> kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//找到了合适的位置cur = new Node(kv);//if (kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;//调整平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)//需向上调整平衡因子{cur = parent;parent = cur->_parent;}else if(parent->_bf==0)//无需向上调整平衡因子{break;}else if (parent->_bf == 2||parent->_bf==-2)//无需向上调整平衡因子，直接旋转{if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);//左单旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);//右单旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左双旋}else if (parent->_bf == -2 && cur ->_bf== 1){RotateLR(parent);//左右双旋}else{//cout << parent->_bf << ":" << /*parent->_left->_bf << ":" <<*/ parent->_right->_bf << endl;assert(false);//其他错误情况}break;}else{assert(false);}}return true;}void Inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}private:void _inorder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_inorder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_inorder(root->_right);}void RotateL(Node* parent){//  a//     b//        c//找到需要旋转的结点Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;//调整结点，并且修改其父亲结点指针parent->_right = curRL;if (curRL)//可能为空{curRL->_parent = parent;}//在修改子树根节点之前，保存子树根节点的父亲Node* pparent = parent->_parent;//修改子树根节点curR->_left = parent;parent->_parent = curR;//子树根节点有可能是整棵树的根节点if (pparent == nullptr){_root = curR;_root->_parent = nullptr;}else//子树根节点不是整棵树的根节点{//还要看子树是它父亲的左孩子还是右孩子if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curR;}else{pparent->_right = curR;}curR->_parent = pparent;}//修改平衡因子curR->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;parent->_left = curLR;if (curLR){curLR->_parent = parent;}Node* pparent = parent->_parent;curL->_right = parent;parent->_parent = curL;if (parent == _root){_root = curL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = curL;}else{pparent->_right = curL;}curL->_parent = pparent;}curL->_bf = parent->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent){Node* curL = parent->_left;Node* curLR = curL->_right;//旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，//需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子int curLR_bf = curLR->_bf;//RotateL(curL);RotateR(parent);if (curLR_bf == -1){parent->_bf = 1;curLR->_bf = 0;curL->_bf = 0;}else if (curLR_bf == 1){parent->_bf = 0;curL->_bf = -1;curLR->_bf = 0;}else if (curLR_bf == 0){parent->_bf = 0;curL->_bf = 0;curLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent){Node* curR = parent->_right;Node* curRL = curR->_left;int curRL_bf = curRL->_bf;RotateR(curR);RotateL(parent);if (curRL_bf == -1){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 1;}else if (curRL_bf == 1){parent->_bf = -1;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else if (curRL_bf == 0){parent->_bf = 0;curRL->_bf = 0;curR->_bf = 0;}else{assert(false);}}Node* _root = nullptr;
};

test.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"AVL.hpp"
int main()
{int arr1[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int arr2[] = {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14};AVLTree<int, int> a1;AVLTree<int, int> a2;for (auto e : arr1){a1.insert(make_pair(e,e));}a1.Inorder();for (auto e : arr2){a2.insert(make_pair(e, e));}a2.Inorder();
}

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