数据结构之AVL树

AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

旋转

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

1) LL：LeftLeft，也称为”左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LL情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(2) LR：LeftRight，也称为”左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LR情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(3) RL：RightLeft，称为”右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RL情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

(4) RR：RightRight，称为”右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RR情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍”LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

/** LL：左左对应的情况(左单旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{AVLTreeNode<T>* k1;k1 = k2->left;k2->left = k1->right;k1->right = k2;k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;return k1;
}

2.2 RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

/** RR：右右对应的情况(右单旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{AVLTreeNode<T>* k2;k2 = k1->right;k1->right = k2->left;k2->left = k1;k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;return k2;
}

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

/** LR：左右对应的情况(左双旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{k3->left = rightRightRotation(k3->left);return leftLeftRotation(k3);
}

2.4 RL的旋转

RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

/** RL：右左对应的情况(右双旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{k1->right = leftLeftRotation(k1->right);return rightRightRotation(k1);
}

完整代码 

#ifndef _AVL_TREE_HPP_
#define _AVL_TREE_HPP_#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;template <class T>
class AVLTreeNode{public:T key;                // 关键字(键值)int height;         // 高度AVLTreeNode *left;    // 左孩子AVLTreeNode *right;    // 右孩子AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):key(value), height(0),left(l),right(r) {}
};template <class T>
class AVLTree {private:AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点public:AVLTree();~AVLTree();// 获取树的高度int height();// 获取树的高度int max(int a, int b);// 前序遍历"AVL树"void preOrder();// 中序遍历"AVL树"void inOrder();// 后序遍历"AVL树"void postOrder();// (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点AVLTreeNode<T>* search(T key);// (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);// 查找最小结点：返回最小结点的键值。T minimum();// 查找最大结点：返回最大结点的键值。T maximum();// 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中void insert(T key);// 删除结点(key为节点键值)void remove(T key);// 销毁AVL树void destroy();// 打印AVL树void print();private:// 获取树的高度int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;// 前序遍历"AVL树"void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;// 中序遍历"AVL树"void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;// 后序遍历"AVL树"void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;// (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;// (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;// 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);// 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);// LL：左左对应的情况(左单旋转)。AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);// RR：右右对应的情况(右单旋转)。AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);// LR：左右对应的情况(左双旋转)。AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);// RL：右左对应的情况(右双旋转)。AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);// 将结点(z)插入到AVL树(tree)中AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);// 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);// 销毁AVL树void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);// 打印AVL树void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);
};/* * 构造函数*/
template <class T>
AVLTree<T>::AVLTree():mRoot(NULL)
{
}/* * 析构函数*/
template <class T>
AVLTree<T>::~AVLTree() 
{destroy(mRoot);
}/** 获取树的高度*/
template <class T>
int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) 
{if (tree != NULL)return tree->height;return 0;
}template <class T>
int AVLTree<T>::height() 
{return height(mRoot);
}
/** 比较两个值的大小*/
template <class T>
int AVLTree<T>::max(int a, int b) 
{return a>b ? a : b;
}/** 前序遍历"AVL树"*/
template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{if(tree != NULL){cout<< tree->key << " " ;preOrder(tree->left);preOrder(tree->right);}
}template <class T>
void AVLTree<T>::preOrder() 
{preOrder(mRoot);
}/** 中序遍历"AVL树"*/
template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{if(tree != NULL){inOrder(tree->left);cout<< tree->key << " " ;inOrder(tree->right);}
}template <class T>
void AVLTree<T>::inOrder() 
{inOrder(mRoot);
}/** 后序遍历"AVL树"*/
template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const
{if(tree != NULL){postOrder(tree->left);postOrder(tree->right);cout<< tree->key << " " ;}
}template <class T>
void AVLTree<T>::postOrder() 
{postOrder(mRoot);
}/** (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{if (x==NULL || x->key==key)return x;if (key < x->key)return search(x->left, key);elsereturn search(x->right, key);
}template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(T key) 
{return search(mRoot, key);
}/** (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const
{while ((x!=NULL) && (x->key!=key)){if (key < x->key)x = x->left;elsex = x->right;}return x;
}template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(T key)
{return iterativeSearch(mRoot, key);
}/* * 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* tree)
{if (tree == NULL)return NULL;while(tree->left != NULL)tree = tree->left;return tree;
}template <class T>
T AVLTree<T>::minimum()
{AVLTreeNode<T> *p = minimum(mRoot);if (p != NULL)return p->key;return (T)NULL;
}/* * 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* tree)
{if (tree == NULL)return NULL;while(tree->right != NULL)tree = tree->right;return tree;
}template <class T>
T AVLTree<T>::maximum()
{AVLTreeNode<T> *p = maximum(mRoot);if (p != NULL)return p->key;return (T)NULL;
}/** LL：左左对应的情况(左单旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2)
{AVLTreeNode<T>* k1;k1 = k2->left;k2->left = k1->right;k1->right = k2;k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;return k1;
}/** RR：右右对应的情况(右单旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{AVLTreeNode<T>* k2;k2 = k1->right;k1->right = k2->left;k2->left = k1;k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;return k2;
}/** LR：左右对应的情况(左双旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3)
{k3->left = rightRightRotation(k3->left);return leftLeftRotation(k3);
}/** RL：右左对应的情况(右双旋转)。** 返回值：旋转后的根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1)
{k1->right = leftLeftRotation(k1->right);return rightRightRotation(k1);
}/* * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点** 参数说明：*     tree AVL树的根结点*     key 插入的结点的键值* 返回值：*     根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key)
{if (tree == NULL) {// 新建节点tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);if (tree==NULL){cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;return NULL;}}else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况{tree->left = insert(tree->left, key);// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2){if (key < tree->left->key)tree = leftLeftRotation(tree);elsetree = leftRightRotation(tree);}}else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况{tree->right = insert(tree->right, key);// 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2){if (key > tree->right->key)tree = rightRightRotation(tree);elsetree = rightLeftRotation(tree);}}else //key == tree->key){cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;}tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;return tree;
}template <class T>
void AVLTree<T>::insert(T key)
{insert(mRoot, key);
}/* * 删除结点(z)，返回根节点** 参数说明：*     tree AVL树的根结点*     z 待删除的结点* 返回值：*     根节点*/
template <class T>
AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z)
{// 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。if (tree==NULL || z==NULL)return NULL;if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中{tree->left = remove(tree->left, z);// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2){AVLTreeNode<T> *r =  tree->right;if (height(r->left) > height(r->right))tree = rightLeftRotation(tree);elsetree = rightRightRotation(tree);}}else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中{tree->right = remove(tree->right, z);// 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2){AVLTreeNode<T> *l =  tree->left;if (height(l->right) > height(l->left))tree = leftRightRotation(tree);elsetree = leftLeftRotation(tree);}}else    // tree是对应要删除的节点。{// tree的左右孩子都非空if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL)){if (height(tree->left) > height(tree->right)){// 如果tree的左子树比右子树高；// 则(01)找出tree的左子树中的最大节点//   (02)将该最大节点的值赋值给tree。//   (03)删除该最大节点。// 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；// 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);tree->key = max->key;tree->left = remove(tree->left, max);}else{// 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)// 则(01)找出tree的右子树中的最小节点//   (02)将该最小节点的值赋值给tree。//   (03)删除该最小节点。// 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；// 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);tree->key = min->key;tree->right = remove(tree->right, min);}}else{AVLTreeNode<T>* tmp = tree;tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;delete tmp;}}return tree;
}template <class T>
void AVLTree<T>::remove(T key)
{AVLTreeNode<T>* z; if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)mRoot = remove(mRoot, z);
}/* * 销毁AVL树*/
template <class T>
void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &tree)
{if (tree==NULL)return ;if (tree->left != NULL)destroy(tree->left);if (tree->right != NULL)destroy(tree->right);delete tree;
}template <class T>
void AVLTree<T>::destroy()
{destroy(mRoot);
}/** 打印"二叉查找树"** key        -- 节点的键值 * direction  --  0，表示该节点是根节点;*               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;*                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。*/
template <class T>
void AVLTree<T>::print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction)
{if(tree != NULL){if(direction==0)    // tree是根节点cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;else                // tree是分支节点cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;print(tree->left, tree->key, -1);print(tree->right,tree->key,  1);}
}template <class T>
void AVLTree<T>::print()
{if (mRoot != NULL)print(mRoot, mRoot->key, 0);
}
#endif

测试代码

/*** C 语言: AVL树** @author skywang* @date 2013/11/07*/#include <iostream>
#include "start.h"
using namespace std;static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};
#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )int main()
{int i,ilen;AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>();cout << "== 依次添加: ";ilen = TBL_SIZE(arr);for(i=0; i<ilen; i++){cout << arr[i] <<" ";tree->insert(arr[i]);}cout << "\n== 前序遍历: ";tree->preOrder();cout << "\n== 中序遍历: ";tree->inOrder();cout << "\n== 后序遍历: ";tree->postOrder();cout << endl;cout << "== 高度: " << tree->height() << endl;cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;cout << "== 树的详细信息: " << endl;tree->print();i = 8;cout << "\n== 删除根节点: " << i;tree->remove(i);cout << "\n== 高度: " << tree->height() ;cout << "\n== 中序遍历: " ;tree->inOrder();cout << "\n== 树的详细信息: " << endl;tree->print();// 销毁二叉树tree->destroy();system("pause");return 0;
}

References

AVL树(二)之 C++的实现 - 如果天空不死 - 博客园

效果如下

这里写图片描述

这里写图片描述

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React主要有如下3个特点&#xff1a; 作为UI&#xff08;Just the UI&#xff09;虚拟DOM&#xff08;Virtual DOM&#xff09;:这是亮点 是React最重要的一个特性 放进内存 最小更新的视图,差异部分更新 diff算法数据流&#xff08;Date Flow&#xff09;单向数据流 学习Re…
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