初探数位DP-hdu2089

一开始刷dp就遇到了数位dp，以前程序设计艺术上看过一点，基本没懂，于是趁今天遇到题目，想把它搞会，但就目前状态来看仍然是似懂非懂啊，以后还要反复搞

统计区间[l,r]的满足题意的数的个数，可以转换成求[0,r]-[0,l)，这也是数位dp题的一个明显的提示

F[i,st] 代表位数为i（可能允许前导0。如00058也是个5位数），状态为st的方案数。这里st根据题目需要确定。

如i=4,f[i,st]也就是0000~9999的符合条件的数的个数（十进制）

决策第i位是多少(such as 0~9)

这里采用的是记忆化搜索的处理方式，有模板

1 int dfs(int i, int s, bool e) {                 //i表示当前的位数，s表示状态，e表示后面位数能否任意填
2     if (i==-1) return s==target_s;              //最后一位取完，找到一个符合条件的值
3     if (!e && ~f[i][s]) return f[i][s];         //之前位数对应要求的值已经确定，在这里就直接返回
4     int res = 0;                                //记录符合条件的值
5     int u = e?num[i]:9;                         //是否能任意填，能任意填则必须小于原来位数上对应的值，否则则可以去到0-9
6     for (int d = first?1:0; d <= u; ++d)        //逐个填充值，通常会在下面继续加上一些条件，排除不需要的值
7         res += dfs(i-1, new_s(s, d), e&&d==u);  //下个位数
8     return e?res:f[i][s]=res;                   //可以任意填的话，说明到i位还未确定res没有包含所有情况，不可以任意填说明后面已经确定，即f也可以确定
9 }

2015-04-20 模板

 1 int dfs(int p,int s,bool e) {
 2     if(p==-1) return 1;
 3     if(!e &&dp[p][s]!=-1) return dp[p][s];
 4     int res= 0;
 5     int u=e?digit[p]:9;
 6     for (int i=0;i<=u;++i)
 7     {
 8         if(i==4||(s&&i==2))
 9             continue ;
10         res+=dfs(p-1,i==6,e&&i==u);
11     }
12     return e?res:dp[p][s]=res;
13 }
14 int solve(int n)
15 {
16     int len=0;
17     while(n)
18     {
19         digit[len++]=n%10;
20         n/=10;
21     }
22     return dfs(len-1,0,1);
23 }

View Code

正确与否有待进一步确认，第一遍看就暂且这么理解吧

f为记忆化数组；

i为当前处理串的第i位（权重表示法，也即后面剩下i+1位待填数）；

s为之前数字的状态（如果要求后面的数满足什么状态，也可以再记一个目标状态t之类，for的时候枚举下t）；

e表示之前的数是否是上界的前缀（即后面的数能否任意填）。

for循环枚举数字时，要注意是否能枚举0，以及0对于状态的影响，有的题目前导0和中间的0是等价的，但有的不是，对于后者可以在dfs时再加一个状态变量z，表示前面是否全部是前导0，也可以看是否是首位，然后外面统计时候枚举一下位数。

今天做了一道基础数位dp题，来自hdu2089

题目大意：给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62“或“4“的数的个数。

如62315包含62，88914包含4，这两个数都是不合法的。0<n<=m<1000000

那么就用这道题分析一下，首先放个源码

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std ;
 3 int f[8][2] ;//f[i][0]:前i位符合要求 f[i][1]:前i位符合要求且i+1位是6
 4 int digit[9] ;//digit[i]表示n从右到左第i位是多少 
 5 int dfs(int i,int s,bool e)//i表示当前位，s表示i位之前的状态，e表示当前位是否可以随意填写 
 6 { 
 7     if(i==0)
 8         return 1 ;
 9     if(!e && f[i][s]!=-1)
10         return f[i][s] ;
11     int res=0 ;
12     int u=e?digit[i]:9 ;
13     for(int d=0 ;d<=u ;d++)
14     {
15         if(d==4 || (s && d==2))
16             continue ;
17         res+=dfs(i-1,d==6,e&&d==u) ;
18     }
19     return e?res:f[i][s]=res ;
20 }
21 int callen(int n)//计算n的长度 
22 {
23     int cnt=0 ;
24     while(n)
25     {
26         cnt++ ;
27         n/=10 ;
28     }
29     return cnt ;
30 }
31 void caldigit(int n,int len)//计算n的digit数组 
32 {
33     memset(digit,0,sizeof(digit)) ;
34     for(int i=1 ;i<=len ;i++)
35     {
36         digit[i]=n%10 ;
37         n/=10 ;
38     }
39 }
40 int solve(int n)//计算[0,n]区间满足条件的数字个数 
41 {
42     int len=callen(n) ;
43     caldigit(n,len) ;
44     dfs(len,0,1) ;
45 }
46 int main()
47 {
48     int n,m ;
49     memset(f,-1,sizeof(f)) ;
50     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
51     {
52         if(n==0 && m==0)
53             break ;
54         printf("%d\n",solve(m)-solve(n-1)) ;//用[0,m]-[0,n)即可得到区间[n,m]
55     }
56     return 0 ;
57 }

2015-04-20 二次代码，风格变好了很多

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 #include<map>
 8 using namespace std;
 9 #define MOD 1000000007
10 const int INF=0x3f3f3f3f;
11 const double eps=1e-5;
12 #define cl(a) memset(a,0,sizeof(a))
13 #define ts printf("*****\n");
14 const int MAXN=1005;
15 int n,m,tt;
16 int digit[9],dp[8][2];
17 int dfs(int p,int s,bool e) {
18     if(p==-1) return 1;
19     if(!e &&dp[p][s]!=-1) return dp[p][s];
20     int res= 0;
21     int u=e?digit[p]:9;
22     for (int i=0;i<=u;++i)
23     {
24         if(i==4||(s&&i==2))
25             continue ;
26         res+=dfs(p-1,i==6,e&&i==u);
27     }
28     return e?res:dp[p][s]=res;
29 }
30 int solve(int n)
31 {
32     int len=0;
33     while(n)
34     {
35         digit[len++]=n%10;
36         n/=10;
37     }
38     return dfs(len-1,0,1);
39 }
40 int main()
41 {
42     int i,j,k;
43     #ifndef ONLINE_JUDGE
44     freopen("1.in","r",stdin);
45     #endif
46     memset(dp,-1,sizeof(dp));
47     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
48     {
49         if(n==0&&m==0)
50             break;
51         printf("%d\n",solve(m)-solve(n-1));
52     }
53 }

View Code

这里通过输出中间变量来辅助理解

 1 int dfs(int i,int s,bool e)//i表示当前位，s表示i位之前的状态（这里表示是否为6），e表示当前位是否可以随意填写
 2 {
 3     //printf("*****\n");
 4     //printf("--%d %d %d\n",i,s,e);
 5     if(i==0)
 6         return 1 ;      //说明前面的位数已经确定，该方案成立
 7     if(!e && f[i][s]!=-1)
 8     {
 9         //printf("--%d %d %d\n",i,s,e);
10         return f[i][s] ;
11     }
12 
13     int res=0 ;
14     int u=e?digit[i]:9 ;
15     //printf("--%d %d %d %d\n",i,s,e,u);
16     for(int d=0 ;d<=u ;d++)
17     {
18         if(d==4 || (s && d==2))
19             continue ;
20         printf("--%d %d %d %d\n",i,s,e,d);
21         res+=dfs(i-1,d==6,e&&d==u) ;
22     }
23     printf("***************  %d %d %d %d\n",i,s,e,res);
24     return e?res:f[i][s]=res ;
25 }

这里输出了0-200的情况

1 200
--3 0 1 0　　//从百位开始计算，之前没有6，所以中间为0，后面可以任意填充所以为1，首先在第一位上填0
--2 0 0 0　　//第二位上填0
--1 0 0 0　　//第三位上填0，一种情况，res+1，下面一样
--1 0 0 1　　//第三位上填1
--1 0 0 2
--1 0 0 3
--1 0 0 5
--1 0 0 6
--1 0 0 7
--1 0 0 8
--1 0 0 9　　//第三位上填9
*************** 1 0 0 9　　//f[1][0]=9，个位上的情况且十位不含6全部确定共9种,下一步之前res重新清零
--2 0 0 1　　//十位填2，之后再确定个位，发现个位上的情况已经确定，于是直接返回f[1][0],res+f[1][0]
--2 0 0 2
--2 0 0 3
--2 0 0 5
--2 0 0 6　　//十位填6，之后s变为1，个位需要重新确定
--1 1 0 0
--1 1 0 1
--1 1 0 3
--1 1 0 5
--1 1 0 6
--1 1 0 7
--1 1 0 8
--1 1 0 9
*************** 1 1 0 8　　f[1][1]=8 //个位上十位含6共9种情况
--2 0 0 7　　//继续枚举十位
--2 0 0 8
--2 0 0 9
*************** 2 0 0 80 //f[2][0]=80
--3 0 1 1　　//百位填1 ret+f[2][0]
--3 0 1 2　　//百位填2 ret+f[2][0]
--2 0 1 0　　//十位填0
--1 0 1 0　　//个位填0 ret+1
*************** 1 0 1 1　　//个位上只能有0
*************** 2 0 1 1　　//十位上只能有00
*************** 3 0 1 161 //返回的是ret
161