递归

问题描述

假设你在祖母的阁楼中翻箱倒柜，发现了一个上锁的神秘手提箱。祖母告诉你，钥匙很可能在下面这个盒子里，这个盒子里有盒子，而盒子里的盒子又有盒子。钥匙就在某个盒子中。为找到钥匙，你将使用什么算法？
方法一：

1. 创建一个要查找的盒子堆。
2. 从盒子堆取出一个盒子，在里面找。
3. 如果找到的是盒子，就将其加入盒子堆中，以便以后再查找。
4. 如果找到钥匙，则大功告成！
5. 回到第二步。

方法二：

1. 检查盒子中的每样东西。
2. 如果是盒子，就回到第一步。
3. 如果是钥匙，就大功告成！

第一种方法使用的是while循环：只要盒子堆不空，就从中取一个盒子，并在其中仔细查找。

def look_for_key(main_box):pile =  main_box.make_a_pile_to_look_through()while pile is not empty:box = pile.grab_a_box()for item in box:if item.is_a_box():pile.append(item)elif item.is_a_key():print("found the key!")

第二种方法使用递归——函数调用自己，这种方法的伪代码如下。

def look_for_key(box):for item in box:if item.is_a_box():look_for_key(item)  #递归elif item.is_a_key():print("found the key!)

递归只是让解决方案更清晰，并没有性能上的优势。实际上，在有些情况下，使用循环的性能更好。

基线条件和递归条件

由于递归函数调用自己，因此编写这样的函数时很容易出错，进而导致无限循环。例如，下面这样的倒计时函数。

def countdown(i):print(i)countdown(i-1)
print(countdown(3))

运行上述代码，将发现一个问题：这个函数运行起来没完没了！（要让脚本停止运行，可按Ctrl+C。）

编写递归函数时，必须告诉它何时停止递归。正因为如此，每个递归函数都有两部分：基线条件（base case）和递归条件（recursive case）。递归条件指的是函数调用自己，而基线条件则指的是函数不再调用自己，从而避免形成无限循环。

def countdown(i)print(i)if i <= 0:	#基线条件returnelse:		#递归条件countdown(i - 1)

栈

调用栈(call stack)只有两种操作：压入（插入）和弹出（删除并读取）。

调用栈

def greet(name):print("hello, " + name + "!")greet2(name)print("getting ready to say bye...")bye()
def greet2(name):print("how are you, " + name + "?")
def bye():print("ok bye!")
greet("maggie")

假设你调用greet(“maggie”)，计算机将首先为该函数调用分配一块内存。

我们来使用这些内存。变量name被设置为maggie，这需要存储到内存中。

每当你调用函数时，计算机都像这样将函数调用涉及的所有变量的值存储到内存中。接下来，你打印hello, maggie!，再调用greet2(“maggie”)。同样，计算机也为这个函数调用分配一块内存。

计算机使用一个栈来表示这些内存块，其中第二个内存块位于第一个内存块上面。你打印how are you, maggie?，然后从函数调用返回。此时，栈顶的内存块被弹出。

现在，栈顶的内存块是函数greet的，这意味着你返回到了函数greet。

这是本节的一个重要概念：调用另一个函数时，当前函数暂停并处于未完成状态。该函数的所有变量的值都还在内存中。执行完函数greet2后，你回到函数greet，并从离开的地方开始接着往下执行：首先打印getting ready to say bye…，再调用函数bye。

在栈顶添加了函数bye的内存块。然后，你打印ok bye!，并从这个函数返回。

现在你又回到了函数greet。由于没有别的事情要做，你就从函数greet返回。这个栈用于存储多个函数的变量，被称为调用栈。

递归调用栈

递归函数也使用调用栈！如计算阶乘的递归函数factorial：

def fact(x):if x == 1:return 1else:return x * fact(x - 1)
print(fact(5))

注意，每个fact调用都有自己的x变量。在一个函数调用中不能访问另一个的x变量。

栈在递归中扮演着重要角色。在本章开头的示例中，有两种寻找钥匙的方法。对于第一种方法，你创建一个待查找的盒子堆，因此你始终知道还有哪些盒子需要查找。

但使用递归方法时，没有盒子堆。既然没有盒子堆，那算法怎么知道还有哪些盒子需要查找呢？

原来“盒子堆”存储在了栈中！这个栈包含未完成的函数调用，每个函数调用都包含还未检查完的盒子。使用栈很方便，因为你无需自己跟踪盒子堆——栈替你这样做了。

使用栈虽然很方便，但是也要付出代价：存储详尽的信息可能占用大量的内存。每个函数调用都要占用一定的内存，如果栈很高，就意味着计算机存储了大量函数调用的信息。在这种情况下，你有两种选择。

• 重新编写代码，转而使用循环。
• 使用尾递归。这是一个高级递归主题，不在本书的讨论范围内。另外，并非所有的语言都支持尾递归。

小结

• 递归指的是调用自己的函数。
• 每个递归函数都有两个条件：基线条件和递归条件。
• 栈有两种操作：压入和弹出。
• 所有函数调用都进入调用栈。
• 调用栈可能很长，这将占用大量的内存

快速排序

分而治之（divide and conquer，D&C）——一种著名的递归式问题解决方法。

只能解决一种问题的算法毕竟用处有限，而D&C提供了解决问题的思路，是另一个可供你使用的工具。面对新问题时，你不再束手无策，而是自问：“使用分而治之能解决吗？”

示例1

问题描述

讲一块长方形的土地，均匀地分成方块，且分出的方块要尽可能大。即找出长和宽的最大公约数

欧几里得算法

用于查找（A，B）最大公约数（GCD）的欧几里得算法如下：

1. 如果A = 0，则GCD（A，B）= B，因为GCD（0，B）= B，我们可以停下来。
2. 如果B = 0，则GCD（A，B）= A，因为GCD（A，0）= A，我们可以停下来。
3. 用余数形式写A（A =B⋅Q+ R），其中Q是除数，R是余数。
4. 因为GCD（A，B）= GCD（B，R），所以使用欧几里得算法找到GCD（B，R）

使用D&C解决问题的两个步骤：

1. 找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。
2. 不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。

D&C并非可用于解决问题的算法，而是一种解决问题的思路。

示例2

求数字数组之和：

1. 循环方法

def sum(arr): total = 0 for x in arr: total += x return total print(sum([1, 2, 3, 4]))

2. 递归函数

def sum(xlist):if len(xlist) == 0:	#找出基准条件return 0else:return xlist.pop(len(xlist) - 1) + sum(xlist)#缩小问题规模，每次递归调用都必须离空数组更进一步
print(sum([1, 2, 3, 4, 5]))

编写涉及数组的递归函数时，基线条件通常是数组为空或只包含一个元素。陷入困境时，请检查基线条件是不是这样的。

相比较用循环解决问题，函数式编程语言没有循环，只能使用递归来编写。

快速排序

工作原理

1. 从数组中随机选择一个元素，这个元素被称为基准值（pivot）。
2. 找出比基准值小的元素以及比基准值大的元素，这被称为分区（partitioning）。
3. 对这两个子数组进行快速排序，再合并结果，就能得到一个有序数组。

代码

def  quicksort(array): if len(array) < 2:return array	#基线条件：为空或只包含一个元素的数组是“有序”的else:pivot = array[0]less = [i for i in array[1:] if i < pivot]greater = [i for i in array[1:] if i > pivot]return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)
print(quicksort([10, 5, 2, 3]))

快速排序的时间复杂度为$O(n\ast logn)$，这里同样也省去了系数，而且是平均运行时间。

快速排序是最快的排序算法之一，也是D&C典范。

小结

• D&C将问题逐步分解。使用D&C处理列表时，基线条件很可能是空数组或只包含一个元素的数组。
• 实现快速排序时，请随机地选择用作基准值的元素。快速排序的平均运行时间为$O(n\ast logn)$。
• 大O表示法中的常量有时候事关重大，这就是快速排序比合并排序快的原因所在。
• 比较简单查找和二分查找时，常量几乎无关紧要，因为列表很长时$O(logn)$比O(n)快得多。