来源：数学职业家
本文将会以数学为主线和切入点，进行一次思想和思维上的自由推理探索认知之旅，并将会透过一种有趣视角和观点，窥见一个我们所熟悉又有所不同的世界、万事万物和我们的宇宙。
现在就让我们开始这次认知探索的旅程吧。
概述
数学是，结构（存在数量）和关系（存在变化） 的描述，以及验证（结构和关系) 的方法和过程。至于逻辑，更像是结构和关系所固有特点，而抽象是寻找结构和关系过程的手段。所以，数学通过抽象的方法，剥离去除一切无意义的具体，只留下单纯的结构和关系，并探索其中的逻辑。
数学发展到今天庞大而巨细、分支繁杂又艰深，但抽象来看就3个方面：
- 形状结构的定义和空间关系描述。
- 数的结构的定义和数的结构之间的关系描述。
- 对以上结构和关系研究验证的过程和方法。
数学也像一个游戏，在自洽的游戏规则内，随意进行思维的玩耍。从公理出发，进行必要的定义，然后进行严谨的推导论证，得出结论，接着经过确认过的结论（不能与之前的结论相矛盾），又可以加入以后的推导过程中作为基础，如此反复。这就像一个游戏，但目的和终点不得而知，只是结论越来越多，格局越来越大。
而这套游戏玩法，就被称为公理方法，其圈定的越来越庞大的游戏（领域）范围，则被称为公理体系。其中，自洽的游戏规则，需要遵从3大基本原则：相容性、完备性、和独立性。
- 相容性，就是结论本身和之间不能出现矛盾。
- 完备性，就是任何结论都必须可以由公理推导得出。
- 独立性，就是公理不依赖于其它公理的逻辑推论。
事实上，这套公理游戏，最早可以追溯到欧几里得的时代，并且几何学就是这种游戏演绎的一个典型代表。
那么，在很久很久以前——公理体系还没有诞生的时候，数学最初是起源于生活的具体的，那时候还不叫数学，只是一种简单的计数系统。比如，自然数就是映射具体的，但从有理数开始就脱离了现实，变成了人为的创造与抽象。而如今，数学发展到现在，已经完全变成了纯思维的活动，完全脱离了现实，可以说这体现了人类抽象思维和推理能力的进化——也就是智能的进化。
数学试图去发现所有的结构和关系，这是一种描述行为。所以，数学可以说是一种描述物质的物质，就像是一种元数据和元语言——描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。
事实上，基因并不会衰老，基因只是一串排列组合的信息，相反存在越久远的基因越会存在更长的时间。衰老的是上层结构，基因代表的是信息，描述了上层结构，结构复制结构就会把基因传递下去。而结构的复制错误就是衰老的原因，并且会反作用于基因。有趣的是，基因指导了结构的复制，这是基因的生存之道。基因就像是数学，描述了结构的规律。而基因本身则是更基本结构的排列组合——是数据存储了信息。
结构和数据
结构和数据之间存在一种可以互相转化的关系，数据是传递信息的结构，而结构可以吸收数据所传递的信息，形成新的结构，从而不断的变化。
而思维，正是数据在（脑神经元网络）结构中流动、吸收、重组、以及随机自由组合过程的产物。人们以为自己的想法，源于自身大脑独立的产生。但其实，任何想法思维都需要数据的参与和构成，而数据是来自外部环境的。可见，所有的想法都只是环境信息的表达而已，而数学作为思维的产物，所做的所有探索和发现，以及严谨的推理论证，都只是环境信息结构和关系的呈现。
- 首先，大脑能想到的，都一定对应物质实现的信息排列组合。因为大脑思维的数据来自环境，大脑只是把通过感官（视觉、听觉、触觉、味觉等）接受的数据，自由组合起来。
- 其次，大脑运行的原理和规则，是宇宙规律的一部分和缩影（分形构建）。所以，大脑想象力的产物，终究会在不同的时间点以不同的形式，在现实（物质）世界中实现。比如人类想象着飞翔，最终发明了飞机。再比如，点石成金虽然炼金术师无法完成，因为炼金术师只掌握了化学手段，而化学变化并不能改变原子种类，但未来通过掌握核聚变技术，就可以完成点石成金的转变。（恒星内部无时无刻不在进行着核聚变）。
有一种观点，认为数学只是由一堆公理和定义推理演绎出来的结论，并且公理（这是游戏系统的根基）选择具有任意性，只要没有矛盾，就可以任凭数学家的自由意志随意创造。
这就相当于把数学架空到一个虚拟的游戏世界，沉浸式的体验，只要合理逻辑自洽，就可以让人无法分辨虚拟与现实的区别。那么，数学家的自由意志——随机又虚幻，这似乎是对追求、目的和意义的全盘否定。
公理选择的指导原则：尽量少、足够简单、并且直观上明显合理。事实上，抛开哲学因素和对最基本原理的探究，公理方法是剖析各种事实之间的互相联系，以及展示结构基本逻辑关系的最自然的方法。
然而，无论是谁的自由意志，其产生原因的背后都需要数据，因为无论是结构化知识的积累，还是灵感直觉的探索，亦或是进行逻辑推理与归纳，都无法脱离数据独立完成。
而数据最终都是来自于环境信息的，那么数学家，就像一个过滤器，不断地从环境信息中观察和总结，并通过逻辑性的推理演绎，提取出数据中内在结构和关系，最后使用数学语言，对这个过程和结果进行描述和表达。
那么，数学家在直觉指引下的构造性思维，其实就是数学动力的真正源泉。数学家的构造性直觉，给数学带来了一个非演绎且非理性的要素，这是可以和音乐与艺术相比拟的。
直觉主义与形式主义
对于数学本质基础的认知讨论，有两大派系：一个是直觉主义，一个是形式主义。
其中，直觉主义认为人的直觉是应对着现实对象的（或说是来自于现实），所以数学的命题是在描述客观的实体，那么就必定没有相容性，即矛盾的问题。因为现实不会存在矛盾之物，并且只认可构造性的性质，即给出结构性证明，那么反证法则不属于这个范畴，因为反证法其过程没有结构，只有矛盾。
而形式主义，不在乎数学与现实的关系（认可人类思维的虚构创造与现实不对应），只专注于公理之上的逻辑演绎，即形式逻辑程序。其严格要求，不能引入矛盾，无论使用什么方法都行——重要的是自洽没有矛盾，所以与直觉主义不同，反证法也会被认可。但实际上，这种要求在概念严格封闭的系统中，证明相容性与完备性是不可能的，比如集合论悖论——这像极了，封闭系统无法维持有序，必须注入引入外部能量，才能维持局部有序的形式。
罗素给出了集合论悖论的通俗形式，即“理发师悖论”：一天，村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?” 理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
有趣的是，直觉主义和形式主义的这些思考和讨论，都是在构造性的、直觉模式的指引下产生的，这意味着他们在互相渗透彼此，并且他们共同点就是极力的在排除矛盾。
矛盾性
那么，我们就要问了，为什么无论是在虚幻的思维，还是坚硬的现实之中，都不应该出现矛盾呢？或许矛盾之物的存在，就是世界的本质，而思维的矛盾是现实的一种延展和感知，现实的矛盾不存在，仅仅可能是因为我们无法感知到而已。
同时，还有一种可能是，在一个巨大循环结构（宇宙）的局部，因为视角和数据的局限，矛盾是必不可少的结果，但在更高的视角和数据范围上，矛盾就会被轻松化解。
而这种局部限制性的存在与突破，则对应了物理上的——对称性破缺。
在宏观上我们会看到对称性，但微观上却充满了不对称性。在物理上认为，对称性原理均根植于“不可观测（变）量”的理论假设之上，而不可观测就意味着对称性，任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。
这些不可观测量中，有一些只是由于我们目前测量能力的限制，当我们的实验技术得到改进时，我们的观测范围自然就要扩大，因而，完全有可能到某种时候，我们就能够探测到某个假设的不可观测量，而这正是对称性被破坏的根源所在。
最后，矛盾性，其实可以看成是同一种物质在不同状态之间互相转化的效应，所以万事万物总是矛盾又统一的。
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