懂数学人的都认同:数学的本质[关联]万物(一)

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来源:数学职业家

本文将会以数学为主线和切入点,进行一次思想和思维上的自由推理探索认知之旅,并将会透过一种有趣视角和观点,窥见一个我们所熟悉又有所不同的世界、万事万物和我们的宇宙。

现在就让我们开始这次认知探索的旅程吧。

概述
数学是,结构(存在数量)和关系(存在变化) 的描述,以及验证(结构和关系) 的方法和过程。至于逻辑,更像是结构和关系所固有特点,而抽象是寻找结构和关系过程的手段。所以,数学通过抽象的方法,剥离去除一切无意义的具体,只留下单纯的结构和关系,并探索其中的逻辑。
数学发展到今天庞大而巨细、分支繁杂又艰深,但抽象来看就3个方面:
  1. 形状结构的定义和空间关系描述。
  2. 数的结构的定义和数的结构之间的关系描述。
  3. 对以上结构和关系研究验证的过程和方法。
数学也像一个游戏,在自洽的游戏规则内,随意进行思维的玩耍。从公理出发,进行必要的定义,然后进行严谨的推导论证,得出结论,接着经过确认过的结论(不能与之前的结论相矛盾),又可以加入以后的推导过程中作为基础,如此反复。这就像一个游戏,但目的和终点不得而知,只是结论越来越多,格局越来越大。
而这套游戏玩法,就被称为公理方法,其圈定的越来越庞大的游戏(领域)范围,则被称为公理体系其中,自洽的游戏规则,需要遵从3大基本原则:相容性、完备性、和独立性。
  • 相容性,就是结论本身和之间不能出现矛盾。
  • 完备性,就是任何结论都必须可以由公理推导得出。
  • 独立性,就是公理不依赖于其它公理的逻辑推论。
事实上,这套公理游戏,最早可以追溯到欧几里得的时代,并且几何学就是这种游戏演绎的一个典型代表。
那么,在很久很久以前——公理体系还没有诞生的时候,数学最初是起源于生活的具体的,那时候还不叫数学,只是一种简单的计数系统。比如,自然数就是映射具体的,但从有理数开始就脱离了现实,变成了人为的创造与抽象。而如今,数学发展到现在,已经完全变成了纯思维的活动,完全脱离了现实,可以说这体现了人类抽象思维和推理能力的进化——也就是智能的进化。
数学试图去发现所有的结构和关系,这是一种描述行为。所以,数学可以说是一种描述物质的物质,就像是一种元数据和元语言——描述的就是物质结构和关系所固有的逻辑。
事实上,基因并不会衰老,基因只是一串排列组合的信息,相反存在越久远的基因越会存在更长的时间。衰老的是上层结构,基因代表的是信息,描述了上层结构,结构复制结构就会把基因传递下去。而结构的复制错误就是衰老的原因,并且会反作用于基因。有趣的是,基因指导了结构的复制,这是基因的生存之道。基因就像是数学,描述了结构的规律。而基因本身则是更基本结构的排列组合——是数据存储了信息。
结构和数据
结构和数据之间存在一种可以互相转化的关系,数据是传递信息的结构,而结构可以吸收数据所传递的信息,形成新的结构,从而不断的变化。
而思维,正是数据在(脑神经元网络)结构中流动、吸收、重组、以及随机自由组合过程的产物。人们以为自己的想法,源于自身大脑独立的产生。但其实,任何想法思维都需要数据的参与和构成,而数据是来自外部环境的。可见,所有的想法都只是环境信息的表达而已,而数学作为思维的产物,所做的所有探索和发现,以及严谨的推理论证,都只是环境信息结构和关系的呈现。
  • 首先,大脑能想到的,都一定对应物质实现的信息排列组合。因为大脑思维的数据来自环境,大脑只是把通过感官(视觉、听觉、触觉、味觉等)接受的数据,自由组合起来。
  • 其次,大脑运行的原理和规则,是宇宙规律的一部分和缩影(分形构建)。所以,大脑想象力的产物,终究会在不同的时间点以不同的形式,在现实(物质)世界中实现。比如人类想象着飞翔,最终发明了飞机。再比如,点石成金虽然炼金术师无法完成,因为炼金术师只掌握了化学手段,而化学变化并不能改变原子种类,但未来通过掌握核聚变技术,就可以完成点石成金的转变。(恒星内部无时无刻不在进行着核聚变)。
有一种观点,认为数学只是由一堆公理和定义推理演绎出来的结论,并且公理(这是游戏系统的根基)选择具有任意性,只要没有矛盾,就可以任凭数学家的自由意志随意创造。
这就相当于把数学架空到一个虚拟的游戏世界,沉浸式的体验,只要合理逻辑自洽,就可以让人无法分辨虚拟与现实的区别。那么,数学家的自由意志——随机又虚幻,这似乎是对追求、目的和意义的全盘否定。
公理选择的指导原则:尽量少、足够简单、并且直观上明显合理。事实上,抛开哲学因素和对最基本原理的探究,公理方法是剖析各种事实之间的互相联系,以及展示结构基本逻辑关系的最自然的方法。
然而,无论是谁的自由意志,其产生原因的背后都需要数据,因为无论是结构化知识的积累,还是灵感直觉的探索,亦或是进行逻辑推理与归纳,都无法脱离数据独立完成。
而数据最终都是来自于环境信息的,那么数学家,就像一个过滤器,不断地从环境信息中观察和总结,并通过逻辑性的推理演绎,提取出数据中内在结构和关系,最后使用数学语言,对这个过程和结果进行描述和表达。
那么,数学家在直觉指引下的构造性思维,其实就是数学动力的真正源泉。数学家的构造性直觉,给数学带来了一个非演绎且非理性的要素,这是可以和音乐与艺术相比拟的。
直觉主义与形式主义
对于数学本质基础的认知讨论,有两大派系:一个是直觉主义,一个是形式主义。
其中,直觉主义认为人的直觉是应对着现实对象的(或说是来自于现实),所以数学的命题是在描述客观的实体,那么就必定没有相容性,即矛盾的问题。因为现实不会存在矛盾之物,并且只认可构造性的性质,即给出结构性证明,那么反证法则不属于这个范畴,因为反证法其过程没有结构,只有矛盾。
而形式主义,不在乎数学与现实的关系(认可人类思维的虚构创造与现实不对应),只专注于公理之上的逻辑演绎,即形式逻辑程序。其严格要求,不能引入矛盾,无论使用什么方法都行——重要的是自洽没有矛盾,所以与直觉主义不同,反证法也会被认可。但实际上,这种要求在概念严格封闭的系统中,证明相容性与完备性是不可能的,比如集合论悖论——这像极了,封闭系统无法维持有序,必须注入引入外部能量,才能维持局部有序的形式。
罗素给出了集合论悖论的通俗形式,即“理发师悖论”:一天,村理发师挂出一块招牌:“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。”于是有人问他:“您的头发由谁理呢?” 理发师顿时哑口无言。
因为,如果他给自己理发,那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是,招牌上说明他不给这类人理发,因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发,他就是不给自己理发的人,而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发,因此,他应该自己理。由此可见,不管怎样的推论,理发师所说的话总是自相矛盾的。
有趣的是,直觉主义和形式主义的这些思考和讨论,都是在构造性的、直觉模式的指引下产生的,这意味着他们在互相渗透彼此,并且他们共同点就是极力的在排除矛盾。
矛盾性
那么,我们就要问了,为什么无论是在虚幻的思维,还是坚硬的现实之中,都不应该出现矛盾呢?或许矛盾之物的存在,就是世界的本质,而思维的矛盾是现实的一种延展和感知,现实的矛盾不存在,仅仅可能是因为我们无法感知到而已。
同时,还有一种可能是,在一个巨大循环结构(宇宙)的局部,因为视角和数据的局限,矛盾是必不可少的结果,但在更高的视角和数据范围上,矛盾就会被轻松化解。
而这种局部限制性的存在与突破,则对应了物理上的——对称性破缺。
在宏观上我们会看到对称性,但微观上却充满了不对称性。在物理上认为,对称性原理均根植于“不可观测(变)量”的理论假设之上,而不可观测就意味着对称性,任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。
这些不可观测量中,有一些只是由于我们目前测量能力的限制,当我们的实验技术得到改进时,我们的观测范围自然就要扩大,因而,完全有可能到某种时候,我们就能够探测到某个假设的不可观测量,而这正是对称性被破坏的根源所在。
最后,矛盾性,其实可以看成是同一种物质在不同状态之间互相转化的效应,所以万事万物总是矛盾又统一的。

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