cogs2840. 二叉查找树

二叉查找树

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【题目描述】

二叉查找树是一种特殊的二叉树（每个节点最多只有两个儿子的树）。树的每个节点上存有一个唯一的值，并且满足：这个节点的左子树内所有点的值都比这个节点的值小，且右子树内所有点的值都比这个节点的值要大。

对于一棵二叉查找树T，我们可以将一个值为 x的新点插入 T中，且保持树的性质。算法如下：

需要将 x 插入树 T时，执行 insert(x,T.root)。

现在有 N 个数需要插入一棵空树中。给定插入序列，请在每个元素被插入之后，输出所有节点的深度总和（根的深度为 0）。

【输入格式】

输入的第一行一个整数 n，表示序列长度。

接下来一行n个数是序列中的数字，这些数字是各不相同的，在[1, n]区间。

【输出格式】

输出 n 行，第 i 行整数表示第 i个数插入树后，至这个节点的节点深度总和。

【样例输入】

8
3 5 1 6 8 7 2 4

【样例输出】

【数据规模与约定】

对于 50%的数据，满足n ≤ 1000

对于100%的数据，满足n ≤ 3 ∗ 1e5

【来源】

qbxt 2017.10.7 t1

我们可以发现，这棵二叉搜索树构建完毕之后，根节点总是比他的子树内任意一个节点先插入 ，而直接构造是n^2级别的，我们需要知道有一种东西叫笛卡尔树，其实就是一颗treap，既满足二叉搜索树的性质，又满足堆的性质，对于任意一个节点有两个值，key和fix，key满足二叉搜索树，fix满足堆，如果key是按大小顺序插入的，那么我们可以在O(n)的时间内构造出这棵树，那么我们就按题目中所给数字大小顺序插入，fix值为其插入时间，就可以构造出符合题目的那棵树了。(key和fix给定时可以唯一确定一棵树)

 1 #include<cstdio>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 const int inf=3e5+10;
 5 int fix[inf],n,fa[inf],dep[inf],a[inf];
 6 ll ans;
 7 int main()
 8 {
 9     scanf("%d",&n);
10     for(int i=1;i<=n;i++){
11         scanf("%d",&a[i]);
12         fix[a[i]]=i;
13     }
14     for(int i=1;i<=n;i++){
15         int last=0,f=i-1;
16         while(fix[f]>fix[i])last=f,f=fa[f];
17         fa[i]=f;
18         fa[last]=i;
19     }
20     dep[0]=-1;
21     for(int i=1;i<=n;i++){
22         dep[a[i]]=dep[fa[a[i]]]+1;
23         ans+=dep[a[i]];
24         printf("%lld\n",ans);
25     }
26     return 0;
27 }