算法训练 Pollution Solution（计算几何）

问题描述

作为水污染管理部门的一名雇员，你需要监控那些被有意无意倒入河流、湖泊和海洋的污染物。你的其中一项工作就是估计污染物对不同的水生态系统（珊瑚礁、产卵地等等）造成的影响。

　　你计算所使用的模型已经在图1中被说明。海岸线（图1中的水平直线）为x轴，污染源位于原点(0, 0)。污染的蔓延呈半圆形，多边形代表了被波及的生态系统。你需要计算出生态系统被污染的面积，也就是图中深蓝色部分。

输入格式

输入文件包含仅包含一组测试数据。
　　每组测试数据第一行为两个整数n (3 <= n <= 100), r (1 <= r <= 1000)，n表示了多边形的顶点个数，r表示了污染区域的半径；
　　接下来n行，每行包含两个整数xi (-1500 <= xi <= 1500), yi (0 <= yi <=1500)，表示每个顶点的坐标，以逆时针顺序给出；
　　数据保证多边形不自交或触及自身，没有顶点会位于圆弧上。

输出格式

输出多边形被圆心位于原点、半径为r的半圆覆盖的面积。
　　答案的绝对误差不得超过10^-3。

样例输入

6 10
-8 2
8 2
8 14
0 14
0 6
-8 14

样例输出

101.576437872

数据规模和约定

存在约30%的数据，n = 3，r <= 20；
　　存在另外约30%的数据，n <= 10，r <= 100，坐标范围不超过100；
　　存在另外约10%的数据，n <= 100，r <= 150，坐标范围不超过250；
　　存在另外约30%的数据，n <= 100，r <= 1000，数据存在梯度；
　　对于100%的数据，满足题目所示数据范围。

题解

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<queue>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<map>
using namespace std;
const int N=1e2+5;
const int M=N/2;int n,r; 
int X[N],Y[N];struct P{double x,y;double getlength(){return sqrt(x*x+y*y);}bool incircle(){return x*x+y*y<=r*r;}double cross(P &b){return x*b.y-y*b.x;}
};
double getArea(P &a,P &b){double degree=a.cross(b)/a.getlength()/b.getlength();if(degree<-1)degree=-1;if(degree>1)degree=1;degree=asin(degree);return r*r*degree/2;
}
double cal(P &a,P &b){bool in1 = a.incircle();bool in2 = b.incircle();if(in1&&in2){return a.cross(b)/2;}else if(in1!=in2){P l=a;P r=b;P mid;for(int i=0;i<40;i++){mid=P{(l.x+r.x)/2,(l.y+r.y)/2};if(mid.incircle()==in1){l=mid;}else{r=mid;}}if(in1){return a.cross(mid)/2+getArea(mid,b);}else{return getArea(a,mid)+mid.cross(b)/2;}}else{P l=a;P r=b;P mid;P midr;for(int i=0;i<40;i++){mid=P{(l.x+r.x)/2,(l.y+r.y)/2};midr=P{(l.x+r.x)/2+(r.x-l.x)*0.0001,(l.y+r.y)/2+(r.y-l.y)*0.0001};if(mid.getlength()<midr.getlength()){r=mid;}else{l=mid;}}if(mid.incircle()){return cal(a,mid)+cal(mid,b);}else{return getArea(a,b);}}
}int main() {cin>>n>>r;for(int i=0;i<n;i++){cin>>X[i]>>Y[i];}X[n]=X[0];Y[n]=Y[0];double ans=0;for(int i=0;i<n;i++){P a=P{X[i],Y[i]};P b=P{X[i+1],Y[i+1]};ans+=cal(a,b);}printf("%lf\n",ans);return 0;
}

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借助这道题补一下计算几何中的部分知识

1.容斥定理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。