一.线性结构

1.顺序线性表

1.1 线性结构是一种基本的数据结构，具有单一前驱和后继的数据关系描述。
1.2 线性表的存储结构分为顺序存储和链式存储。
1.3 顺序线性表的元素间的逻辑关系无需占用额外的空间来存储。
1.4 一般地，以LOC($a_1$)表示线性表中第一个元素的存储位置，在顺序存储结构中，第ｉ个元素$a_i$的存储位置为
$$LOC(a_i)=LOC(a_1)+(i-1)\ast L$$L表示表中每个元素所占用空间的字节数。

1.5 顺序线性表的优点是可以随机存储表中的元素，缺点是插入和删除元素需要移动元素。

1.6插入删除操作需要移动元素个数的期望值
(1) 在长度为ｎ的线性表中插入元素时，共有n+1个插入位置，在位置１处插入元素需要移动ｎ个元素，在ｎ位置处插入元素，需要移动一个元素，则可知在**位置ｉ处插入元素，需要移动的元素个数为n+1 - i,**假设在n+1个位置插入元素的概率相等，则概率为：
$$\frac{\mathrm{１}}{n+1}$$则插入元素的期望为
$$E_{insert}=\sum _{i=1}^{n+1}\frac{\mathrm{１}}{n+1}(n+1-i)=\frac{n}{2}$$

(2) 删除元素时，有ｎ个元素可删除的元素，删除第ｉ个元素需要移动的元素个数为n-i,则期望为：
$$E_{delete}=\sum _{i=1}^n\frac{\mathrm{１}}{n}(n-i)=\frac{n-1}{2}$$

1.7 因此，插入和删除的时间复杂度为Ｏ(n)。

2.链式线性表

2.1 通过指针域来存储元素之间的逻辑关系，若节点中只有一个指针域，则称为线性链表，具有插入和删除元素不需要移动元素的优点。
2.2 在单链表中，在ｐ所指节点后面插入新节点：

s->next = p->next;
p->next = s

2.3 在单链表中删除ｐ所指节点的后继节点：

q = p->next;//记住需要删除的节点，用于其释放内存
p->next = p->next->next;
free(q);

插入，删除节点都需要从插入或删除的节点入手，结合图中所示，书写首尾衔接，方便快速写出正确的代码。

2.4 在实际应用中，为了简化对链表状态的判定和处理，特别引入一个不存储数据元素的节点，称之为头节点，将其作为链表的第一个节点并令头指针指向该节点。

2.5 双向链表，具有连个指针域，分别指出当前元素的直接前驱和直接后继。循环链表，在单链表的基础上，令表尾节点的指针指向链表的第一个节点。注意区分两者的区别。

2.6 双向链表的删除和插入操作,front表示前驱，next表示后继。

在ｐ节点之前插入节点ｓ：

s->front = p->front;
p->front->next = s;
s->next = p;
p->front = s;

删除节点ｐ：

p->front->next = p->next;
p->next->front = p->front;
free(p);

3. 栈和队列

3.1 在栈中进行插入和删除操作的一端称为栈顶。
3.2 栈的存储结构：顺序存储和链式存储。采用顺序存储结构的栈称为顺序栈，在这种存储方式下，需要预新申请栈的存储空间。
3.3 栈的典型应用包括表达式求值，括号匹配等，其次将递归过程转换成非递归过程，也需要利用栈来实现。

3.4 在对队列中，允许插入元素的一端称为队尾(Rear),允许删除元素的一端称之为队头(Front)。顺序存储的队列，可以通过求余运算来实现环状结构。
元素入队和元素出队列;

Q.rear = (Q.rear +1) % MAXSIZE;// 采用下标加１的方式表示入队和出队
Q.front = (Q.front +1) % MAXSIZE;

3.5　当头指针和为指针相等时，表示队列为空，当尾指针的下一个位置为头指针是表示队列满，或者设置一个队列满的标志是区分队列的空与满。

3.6 链式队列，采用给队列添加一个头节点，并令头指针指向该节点。因此，当头指针与位置的值相等且均指向头结点表示队列空。
3.7 队列主要用于需要排队的场合，以及离散事件的计算机模拟等。

4.串的模式匹配

4.1 朴素的模式匹配算法：基本思想是从主串的第一个字符与模式串的第一个字符比较，若相等，则逐一对字符串进行后续的比较，否则从主串第二个字符与模式串的第一个字符重新比较，直到匹配成功或则失败。

4.2 模式匹配的算法时间复杂度
(1) 假设主串和模式串长度分别为ｎ和ｍ，下表从０开始，假设从主串的第ｉ个位置匹配成功，且在前ｉ趟中都是模式串的第一个字符与主串匹配失败，字符比较次数为ｉ，而第ｉ+1趟成功匹配字符的比较次数为ｍ,总的字符比较次数为ｉ+ m(0<=i<=n-m),若在n-m个位置上匹配成功的概率相同，即
$$\frac{\mathrm{１}}{n-m+1}$$
则，匹配成功时字符的平均比较次数为：
$$\frac{\mathrm{１}}{n-m+1}\sum _{i=0}^{n-m}(i+m)=\frac{n+m}{2}$$
因此，在最好情况下匹配算法的时间复杂度为O(n+ｍ)。

(2)假设最坏情况下，每次匹配不成功都是模式串的最后一个字符不匹配，则前ｉ趟中字符比较了ｉ×ｍ次，第ｉ＋１趟也比较了ｍ次，则：
$$\sum _{i=0}^{n-m}\frac{m(i+1)}{n-m+1}=\frac{1}{2}m(n-m+2)$$
因此，在最坏情况下匹配算法的时间复杂度为O(n×ｍ)。

5.矩阵的压缩存储

5.1 n阶对称矩阵，$a_{ij}$=$a_{ji}$,可将$n^2$个元素压缩存储到$\frac{n(n+1)}{2}$个元素的存储空间。
采用行为主序存储下三角包括对角线中的元素在数组A中，则A [k]与矩阵元素$a_{ij}$之间的一一对应关系为：
$$k=\{\begin{array}{ll}\frac{i(i-1)}{2}+j& \text{i >= j}\\ \frac{j(j-1)}{2}+i,& \text{i < j}\end{array}$$