来源：微信公众号“图灵教育”

撰文：[英] 马库斯·杜·索托伊

翻译：柏华元

当哈代和利特尔伍德步履维艰地穿越陌生的黎曼图景时，在5000英里外的印度马德拉斯港务局内，一个名叫斯里尼瓦瑟·拉马努金的年轻办事员被素数的神秘莫测吸引住了。

他没有把时间花在他本应负责的无聊的记账工作上，而是把所有醒着的时间都用来记录观察到的或者计算出的关于这些奇怪数字的规律。拉马努金在研究素数时，对于西方世界开辟出的独特复杂的视角还一无所知。

他没有接受过正规教育，因此不像利特尔伍德和哈代那样，对数论这门学科，特别是素数，心怀敬畏。

哈代认为，素数是“纯数学所有分支当中最难的部分”。

不受任何传统数学的束缚，拉马努金带着一种近乎孩子般的热情，一头扎进了素数的世界里。他的无所畏惧以及超凡的数学天赋，日后都成了他有力的武器。

在剑桥大学，哈代和利特尔伍德仔细研读了兰道在书中讲述的关于素数的精彩故事。在印度，拉马努金对素数的研究兴趣源于一本数学基础书，但是此书对他的影响同样是深远的。

对于年轻科学家来说，人生中的几个转折点通常是决定他们未来发展的关键。

对黎曼来说，那本他在孩童时期收到的来自拉格朗日的著作，在他年幼的心里播下了一颗种子，这颗种子在他日后的生命中破土而出，发芽生长。

对哈代和利特尔伍德来说，兰道的那部作品同样意义重大。

15岁的拉马努金，在1903年偶然间得到乔治·卡尔的《纯数学和应用数学的基本结果概述》一书，从此对素数的研究热情便一发不可收拾。

要是没有拉马努金的话，该书及其作者可能会默默无闻。这本书结构简单，它罗列了差不多4400个经典结果——只有结论，没有证明过程。

拉马努金敢于直面挑战，在接下来的几年里，对书里的每一项结论都进行了证明。他对于西方式的证明方式并不熟悉，于是开辟了自己的数学道路。不受固有思维模式的束缚，他可以自由地发挥想象。

没过多久，他就在笔记本里密密麻麻写下了各种新的结论和观点，这远远超出 了卡尔在书中提到的内容。从费马许多未经证明的命题中，欧拉获得了灵感。从拉马努金处理问题的方式上，可以看到欧拉的影子。

拉马努金有一种异于常人的直觉，他能靠直觉导出公式。当发现虚数能将指数函数和描述声波的方程联系起来时，他兴奋极了。

几天后，当这个年轻的印度小职员得知欧拉早在150年前就发现了这一问题时，原先的喜悦之情一扫而空。

一时间，失望和沮丧笼罩在他的心头，挥之不去。拉马努金从此闭门不出， 独自沉浸在数学计算的世界里。

对拉马努金来说，梦中世界是进行数学探索的最佳场所。拉马努金似乎能够在 醒着的时候进入这种梦境般的状态。这种恍惚状态近似于一种心理状态，它是很多数学家梦寐以求的。

也许正因为拉马努金无须为“证明”所累，所以他才能在穿越数学蛮荒之地时自由开辟出新的路径来。他以直觉见长，这与西方世界宣扬的科学传统大相径庭。

利特尔伍德后来这样写道：“他根本就不了解所谓证明为何意；如果证明再加上直觉让他对某观点确认无疑的话，他就会停滞不前，找不到奋斗的方向了。”

印度的学校教育深受英国文化的影响。然而，英国的教育体系培养出了利特尔伍德和哈代这样的大师，却没能培养出印度好青年拉马努金。

1907年，当利特尔伍德发表的论文在剑桥大学备受追捧时，拉马努金却在第三次也是最后一次考试中失利。如果仅仅是数学的话，那么他肯定能通过考试。但是他还需要学习英语、历史、梵语，甚至还有生理学。

由于他正统的婆罗门出身，拉马努金是个严格的素食主义者。解剖青蛙和兔子对他来说是超出底线的行为。这意味着他无法进入马德拉斯大学继续深造。但是，这并没有扑灭他心中熊熊燃烧着的数学之火。

到了1910年，拉马努金迫不及待地想要将他的观点呈现在世人面前。对于自己发现的一个似乎能精确统计素数个数的公式，他兴奋不已。

和大多数人一样，在试图发现这些杂乱无章的数字背后的规律时，他也经历过深深的挫败感。但是，拉马努金深知素数对数学来说至关重要。因此，他并不气馁，一直坚持寻找揭示素数规律的某一公式。

他依然天真地认为，所有的数学规律都可以精确地用公式和方程来表示。

利特尔伍德后来解释道：“如果生在100或150年前，拉马努金会是一位怎样伟大的数学家呢？如果他正好能遇上欧拉又会如何？……但是伟大的公式时代似乎已经结束了。”

但是，拉马努金并没有受到黎曼引发的19～20世纪数学变革的影响。

他依然特立独行地想要找到一个能生成素数的公式。花了无数个小时在素数表的计算上，他终于发现了一条规律。他迫切地想要找个能欣赏他的人，向其描述他的初步发现。

由于笔记字迹工整、页面整洁，再加上强大的婆罗门人脉，拉马努金在马德拉斯港务局谋得会计一职。他开始在Journal of the Indian Mathematical Society 上发表一些自己的观点，从而逐渐为人所知，并引起了英国当局的注意。

C.L.T. 格里菲斯当时在马德拉斯工程学院任教，他看到拉马努金有成为一名“卓越数学家”的潜力。但是他自身水平有限，无法理解或者评价拉马努金的观点。于是他决定咨询在英国求学时的一位恩师的意见。

从未接受过正规训练的拉马努金，形成了一种独具个性的数学风格。拉马努金在论文中声称自己证明出了 1+2+3+…+∞ = -1/12。

当伦敦大学的希尔教授收到这些论文时，他露出鄙夷的神色，认为其毫无意义。这或许是在人们意料之中的事情。即使从非专业的眼光来看，这个公式也是荒谬的。将所有的数字求和得到一个负分数，这真是疯子才会做的工作！

“拉马努金先生已经陷入了发散级数这门复杂学科的陷阱当中了。”他在给格里菲斯的回信中这样写道。然而，希尔教授并没有全盘否定拉马努金的观点。他所做的批注使拉马努金大受鼓舞。

他终于决定去碰碰运气，就提笔给剑桥大学的数学家们写了封信。两位收件人面对拉马努金的奇怪算术一头雾水，因此便拒绝了他的求助。但是之后拉马努金的信件放在了哈代的桌子上。数学似乎就是由怪人谱写的，或许费马也脱不了干系。

兰道的标准据信控诉着以下事实：他收到了各种怪人的来信，他们都声称自己证明出了费马大定理，从而可以顺理成章地拿到沃尔夫凯勒奖。对于莫名收到带有疯狂的数字命理学理论的信件，数学家们早已习以为常了。

哈代的朋友 C.P. 斯诺回忆道，哈代常常被大量的手稿淹没，在这些手稿中， 常常可看到这样的言论，比如宣称已经解决了胡夫金字塔预言之谜，或者破译了弗朗西斯·培根在莎士比亚戏剧中所设定的密码。

不久前，拉马努金从加纳帕蒂·耶尔那里收到了哈代的Orders of Infinity一书。耶尔时任马德拉斯大学的数学教授。

夜幕降临时，拉马努金喜欢和他漫步在海滩上，一起谈论数学问题。读到此书时，拉马努金一定欣喜若狂，因为终于有个人能欣赏他的数学才华，读懂他的理论了。但是欣喜之余，他就开始担心，自己的无穷级数求和可能会使哈代 误认为自己是个疯子。

哈代可能会说：“精神病院才是你最终的出路。”哈代曾声明：“比任何给定数小的素数个数，目前还没有发现任何确切的表达式。”拉马努金对此激动不已。

拉马努金发现了一种公式，他坚信通过该公式可得到一个非常接近实际数值的结果。他急切地想要把该公式呈现在哈代面前，听一听他的意见。

哈代一大早就收到了拉马努金寄来的一个贴着印度邮票的包裹。这个包裹乍一看很不起眼。打开包裹后，映入哈代眼帘的是一份手稿，上面记载了一些关于素数统计的理论，论证不够严谨，却又令人赞叹其奇思妙想；还有一些拉马努金似乎还没意识到已经众所周知的结论。

在附信中，拉马努金宣称自己“发现了可以精确统计素数个数的方程”。哈代知道，这份声明非同一般。然而令他失望的是，他并没有如愿看到拉马努金所声称的公式。最糟糕的是，什么证明过程也没有！

对哈代来说，证明就是一切。他曾经在三一学院的高桌边对罗素说：“如果我能靠逻辑证明你五分钟后死去，我将会为你的死感到悲伤，但这种悲伤将很快转为证明的喜悦。”

据斯诺说，哈代很快就看完了拉马努金的手稿。哈代评价道：“它不仅读起来无趣，而且令人心里窝火，就像被一个会忽悠的骗子当猴耍了一样。”但是到了晚上，这些看似不够严谨的理论开始施展起魔法了。

晚饭过后，哈代叫来了利特尔伍德，一起来讨论拉马努金的公式。午夜时分，他们破译了它。哈代和利特尔伍德具有真知灼见，能够破译拉马努金的非专业语言，也能够慧眼识英才，意识到这并不是一个疯子的胡言乱语，而是来自一个未经雕琢的天才的伟大论述。

他们都意识到，拉马努金那个疯狂的无穷级数求和公式恰恰是又一个新发现，利用它可以定义黎曼 ζ 函数图景上丢失的那部分区域。

破解拉马努金公式的关键，就是将数字2重写成 1/(2^-1)（2^-1是 1/2 的另一种写法）。这种方法适用于所有的数字串求和。哈代和利特尔伍德将拉马努金的公式重写为：

当代入数字 -1时，如何计算 ζ 函数呢？黎曼苦苦寻求的答案就在眼前。没有经过正规训练的拉马努金，独自跑完了全程，重新架构了黎曼发现的 ζ 函数图景。

拉马努金的信件来得恰逢其时。从兰道的著作中，利特尔伍德和哈代读到黎曼的 ζ 函数，都对其精妙之处赞不绝口，纷纷沉浸在其与素数的关系研究中。

现在，拉马努金声称，有个公式能精确统计出确定范围之内的素数个数。那天早晨，哈代还对此言论嗤之以鼻，认定拉马努金就是个数学疯子。可到了晚上，一番研究之后，这个来自印度的包裹便开始闪闪发光起来。

拉马努金还宣称，他的公式能精确统计1亿以内的素数个数（通常情况下是零误差，只有在某些情况下会出现一两个误差）。哈代和利特尔伍德一定震惊不已吧！可问题是，拉马努金并没有给出公式。对于两位“证明就是一切”的数学家来说，整封信件都给了他们一种深深的挫败感。它遍布公式和结论，却丝毫不见相关的证明过程或者相关出处的只语片言。

哈代立马积极地给拉马努金回了封信，并以一种近乎祈求的语气，请他提供素数公式的证明过程以及更多相关细节。利特尔伍德还在信中加了一句，请他尽快寄来素数统计公式和尽可能多的证明细节。两位数学家都情绪高涨，满心期待着拉马努金的回信。两人常常在高桌上边吃饭边讨论拉马努金的第一封来信，以便能破解更多东西。

罗素在信中向一位朋友讲述道：“环视整个大厅，我就看到哈代和利特尔伍德处于一种近乎癫狂的状态，因为他们相信又一个牛顿出现了，他就是那位在马德拉斯年薪20英磅的印度职员。”

拉马努金的第二封信如期而至。在信中，若干关于素数的公式清晰可见，却依旧难觅相关证明的身影。“这种情况下，他的信件是多么令人抓狂啊。”利特尔伍德写道。

他猜测，拉马努金可能是担心哈代会窃取他的劳动成果。哈代和利特尔伍德认真研究着拉马努金寄来的第二封信。他们突然发现，拉马努金又有了新进展，这与黎曼之前的发现有关。在高斯素数统计公式的改进上，黎曼实现了精益求精；同时，他也发现了如何用 ζ 函数图景上的零点来消除方程中不断产生的误差。

拉马努金重建了黎曼50年前的发现。拉马努金的公式包括黎曼对于高斯素数猜想所做的改进，但是不包括黎曼基于图景上的零点所做的修正。拉马努金是在说零点的误差在以一种奇怪的方式相互抵消吗？

傅里叶从音乐的角度诠释了这些误差。每个零点就像一个音叉。当音叉同时 响起时，就能奏起素数的音乐。有时候，当这些声波组合在一起相互抵消时，就会陷入一片沉寂。一架飞机可以通过在机舱内生成声波实现相互抵消，从而降低发动机的噪声。

因此，拉马努金是不是在说，来自黎曼零点的波也能产生静音？复活节假期期间，利特尔伍德陪同爱人以及家人前往康沃尔度假，随身携带着拉马努金来信的复印件。“亲爱的哈代，”他在回信中如此写道，“这个关于素数的观点是错的。”

利特尔伍德已经证明，那些波产生的误差无法相互抵消。因此，拉马努金重新构建的黎曼公式不会如他宣称的那般精确。无论数值有多大，总是会出现一些噪声的。值得一提的是，在拉马努金来信的激励下，利特尔伍德进行了大量的分析研究工作。这给黎曼假设的研究注入了新的活力，开辟了一种有趣的新视角。

黎曼假设之所以对数学界来说举足轻重，是因为它意味着，利用高斯猜想统计出以内的素数个数与实际素数个数存在的差会非常小。如果大小N，与之相比的话，其误差基本不会超过N平方根。但是如果有任一零点不在黎曼的假想线上，其误差就会比这个大得多。现在，拉马努金在信中宣称自己可以比黎曼做得更好。或许，当统计值更大的时候，误差会小于N的平方根。利特尔伍德在康沃尔进行的研究使这一希望落空了。

利特尔伍德证实，无论计算多少次，零点导致的误差也不会小于N的平方根。黎曼假设给出的就是最优解了。拉马努金在这个问题上大错特错，但他仍然给哈代留下了深刻的印象。

很明显，尽管拉马努金才华横溢，却急需学习、掌握当下的前沿知识，形成坚实的知识储备。只有这样，他才能跟上时代的步伐。

到了 1914 年，拉马努金已经身在剑桥大学了。从此之后，便开了数学史上最伟大的合作之一。每次提到和拉马努金合作的那段岁月，哈代总是难以抑制内心的兴奋。他们纵情交谈着各自的数学思想，都深深折服于彼此的数学观点，也都为找到一个热爱数字的志趣相投之人而欣喜不已。

哈代的目光也逐渐被拉马努金那些散发着迷人光芒的定理吸引住了。

哈代发现，很难让拉马努金做到兼顾直觉和证明。他担心，如果自己过于强调让拉马努金证明他的结论，可能会打击他的自信心，或者使他的灵感之源枯竭。他给利特尔伍德布置了一个任务，就是让拉马努金熟悉现代的严谨数学。

但利特尔伍德发现，这是一个不可能完成的任务。无论利特尔伍德费了多少唇舌，向拉马努金介绍所谓严谨数学为何物，拉马努金都会插入一些新观点，使利特尔伍德偏离原有的轨道，不能按计划进行下去。

尽管提出精确的素数统计公式使拉马努金开启了英国之旅，最终使他留名于世的却是他在相关领域做出的贡献。从哈代和利特尔伍德那里，他听到了“素数天生带有恶意”这类悲观的论调。因此，在素数的探索上，他放慢了脚步。

人们只能猜测，拉马努金一定是发现了什么，才使他不像西方人那样对素数充满恐惧。他继续和哈代一起探索素数的相关性质。他和哈代提出的观点，将有助于推动哥德巴赫猜想研究取得突破性进展。哥德巴赫猜想就是每个偶数都能写成两个素数之和。

他们历经一番曲折，才首次取得这一进展。但这源于拉马努金秉承的天真想 法：必定有精确的公式来描述诸如素数个数这样重要的数列。

在他宣布素数公式的信件中，他写道，他相信自己知道如何生成另一个先前未被研究的数列，即划分数（partition number）。如果要把 5 块石头分成几组，共有几种可能的方法呢？组数范围是 1～5。这称作数字 5 的划分。如下图所示，共有 7 种可能的划分方法。

这种数列，在现实世界中出现的概率，几乎和斐波那契数列一样频繁。

例如，通过降低给定量子系统的能级密度，来理解划分数的变化。这些数字看起来并不像素数那样是随机分布的。

但是哈代时期的数学家们都不约而同地放弃了寻找能生成列表中的这些数字的精确公式。他们认为可能有这样一个公式，它能生成一个近似值，与 N 的实际划分数偏差不大。这和利用高斯的公式得出 N 以内素数个数的近似值如出一辙。

但是，拉马努金从不畏惧这类序列。他就是要站出来找到这样一个公式，利用该公式就能轻松得出，给 4 块石头分组有 5 种方法，或者给 200 块石头分数有 3 972 999 029 388 种方法。

尽管在素数问题上马失前蹄，但拉马努金成功地解决了划分数问题。哈代对复杂问题有着强大的证明能力，而拉马努金则具有天马行空的想象力，坚信必然存在这样一个公式。二者珠联璧合、相得益彰，这促使他们发现了这个公式。

拉马努金为什么就那么坚信存在这样一个精确公式呢？任凭利特尔伍德抓耳挠腮、绞尽脑汁，也找不到该问题的答案。看到这个包含2的平方根、π、微分、三角函数和虚数的公式时，人们总忍不住想知道这个公式到底是从哪里冒出来的呢！

利特尔伍德之后这样评价道：“发现这一定理归功于两个人的鼎力合作。二人各有所长，并尽其所能地发挥各自的特长，不吝付出艰苦的努力。” 

这个故事历尽曲折。利用哈代和拉马努金的这个复杂公式，得到的不是一个精确的数字，而是一个经过四舍五入后最接近的整数。

尽管拉马努金的这种直觉在素数问题上失效了，他和哈代在配分函数（partition function）上的工作却推动了哥德巴赫猜想的解决。面对这个最伟大的数论未解之谜之一，多数数学家早已放弃了破解的念头。多年来，该领域一直毫无进展。早在很多年前，兰道就宣布这是个高不可攀的山峰。哈代和拉马努金在配分函数上的工作，使他们建立了一种现在称之为哈代 - 利特尔伍德圆法（Hardy -Littlewood Circle Method）的技术。

这个名字源于他们在计算中使用的所有小图表。这些图表描述了虚数地图上的那些圆，而哈代和拉马努金则试图求这些圆的积分。这个方法没有以拉马努金的名字命名，是因为利特尔伍德和哈代首次使用该方法来证明哥德巴赫猜想。他们无法证明所有的偶数都能表示为两个素数之和。

但到了1923年，他们成功证明了所有足够大的奇数都能写成三个素数之和。这对数学界来说可是个重磅消息。但要想让该结论成立，就必须满足一个条件，那就是黎曼假设是正确的。推测出这一结果，同样是相信黎曼假设会成为黎曼定理的产物。拉马努金对这一方法的发展可谓功不可没。遗憾的是，他没能活着见证该方法在数学上发挥举足轻重的作用。

1917年，拉马努金的心情愈发黯淡，身体也每况愈下。他失魂落魄地来到伦敦地铁，冲到一列缓缓驶来的列车前，想要以此结束自己的生命。这时，一名警卫冲过来，挡在他身前，叫停了列车，才使他逃过死神的魔爪。在1917 年，自杀未遂是一种犯罪行为。在哈代的斡旋下，警方撤销了对他的指控。但条件是，他不得不入住位于马特洛克（德比郡的首府）的一家疗养院，接受长达 12 个月的全面医疗监护。

拉马努金终于时来运转，当选为英国皇家学会（英国最负盛名的科研机构）的会士，随即获得了三一学院的研究员职位，走向人生巅峰。哈代在这些选举上享有极大的话语权。这是他向拉马努金致敬的最好方式。

但拉马努金的身体健康每况愈下。第一次世界大战结束后，哈代建议拉马努金回家休养一段时间。1920年4月26日，拉马努金在马德拉斯逝世，年仅 33 岁。

多年之后，到了1978年，皮埃尔·德利涅因证明了拉马努金现今为人所熟知的 τ 猜想而获得菲尔兹奖。这时人们才意识到拉马努金猜想的重要性。

本文经授权转载自微信公众号“图灵教育”，摘自人民邮电出版社图灵文化出版的图书《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》。

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