3.1考虑横风向振动的风荷载

图 3.1 流场中的横流截面

Fig 3.1  The lateral section in flow-field

结构沿高度Z方向作用在结构单位长度上的横风向荷载主要来自于升力，其次来自于阻力。高度z处单位长度上的风荷载

式中，为来流与结构的夹角，称为来流攻角，如图2.4所示; 为结构横风向振动出现的空气相对结构速度形成的附加攻角，即为实际气流与来流的夹角，为实际攻角; 是上升力; 是阻力。

把, 的表达式带入到（3.1）式中得

实际气流流速，把式(3.4)的，替换成风速，则式(3.4) 变成

其中为升力系数; 为阻力系数; 为特征长度，可取结构宽度; 为空气密度。为侧力系数具体表示为

3.2空气动力系数简化

对公式(3.6)的，按泰勒级数展开，取两阶项以内的各项为

其中

在各种模型的风洞实验中，曲线在攻角不是太大的状况下，也就是在驰

振可能发生的攻角范围内近似直线，因而可令。

四、平移结构弛振

4.1平移结构弛振的稳定性[11]

一维结构稳定性的研究方法:首先给定一个作用在结构上的气动力的模型，然后列出结构响应的运动方程，最后考察静态平衡位置附近位移的小扰动的稳定性。在图4.1中，弹簧支撑的建筑模型受到速度为的稳定流动作用。

图 4.1  稳流中单自由度模型

Fig. 4.1  The model of a degree of freedom in stable flow

其横截面任意，单位长度的弹簧刚度是，阻尼因子是包括随动流体质量在内的)，单位长度质量是，对于许多截面来说，随动流体质量和结构排出的流体质量大致相等。如果模型以速度垂直平行移动，那么流动相对于模型的角度是

这里根据空气动力学的意义定义攻角。。在从左到右的流动中，缓慢地把模型顺时针旋转就增大了攻角。相对于模型的流动速度是

作用在单位长度模型上的净铅直力是

其中是铅直力系数

 而和分别是升力气动力系数和曳力气动力系数。是横截面、攻角和雷诺数的函数。截面的运动方程为

其中是模型用弧度表示的固有频率

    不稳定的气动力诱发振动的起始点由方程(4.5)中的线性项所确定。当攻角改变不大时，可以在附近展开

攻角很小时，，。项造成一个静位移，对于结构稳定与否不起任何作用。将该级数的第二项代入方程(3.15)得到运动的线性化方程项

其中

定义的阻尼系数，是结构阻尼分量和气动力分量之和，方程(4.8)的解是

其中，；是扰动的初始幅值，是初始相位角。由方程(3.20)可见方程(4. 8)的解时是稳定的，也就是说，只有当是正值时，所有扰动才会随着时间减弱而减弱，因而结构是受正阻尼的结构。

    如果是负值，位移将无限地增大。当经过零而变成负值时开始出现不稳定现象。令为零可以求得不稳定大幅振动起始点所需要的最小的折合速度。不稳定起始点的最小的流速是

其中,是模型的固有频率，单位是HZ

如果大于或等于零，那么模型始终是稳定的。只有当把模型稍微旋转进入稳态风里升力增加时，因而和折合速度超过方程所给出的折合速度，模型才可能是不稳定的。表3.1列出了矩形截面的铅直力系数的斜率(以弧度为单位，流体、方向是从左向右，

4.2平移结构弛振的响应[11,12,13]

    如果流速超过不稳定弛振起始点的临界速度，那么流动输入结构的能量就会超过结构内部在阻尼上耗散的能量。流动输入的能量和结构耗散的能量之间达到平衡以前，振动的振幅将不断增大。如果流动输入的能量和结构耗散的能量都随着振幅线性的增加而增加，那么一旦越过稳定性的极限，振幅就不受限制的增大，可是在真实的结构中因为作用在结构上的真实的流体力是受到限制的，所以流动输入的能量也有一个定值的极限。因而不稳定弛振的振幅只有在受到结构的流体力的非线性，或者结构本身的非线性限制以前，还能增大。因此要计算非线性气动力对线性结构的影响，以确定稳态弛振的响应。

其中略掉了，由于它只产生一个静态位移，而在时，。

模型对非线性力作出的响应的运动方程是

这个非线性的，自激的震荡器方程可以利用缓慢改变参数的方法近似地求解。瞬变解，稳态解的稳定性都可以求出。当气动力和阻尼力的大小，相对于惯性力和弹簧力减小时，这个方法的准确性可以提高。一般假定这些解都有随时间变化的振幅和相位

其中

而一般又假定在一个周期内和的变化很小，因此

从方程(4.14), (3.15), (3.16)可以得到

如果把方程(4.14)和(4.16)代入方程(4.13)，方程(4.13)就变成

因为固有频率是

所以方程(4.18)左侧的最后一项等于零。如果方程各项乘上，方程(4.16)各项乘上，然后两个方程相加，就得到

因为在一个周期内之，变化很慢，当。从0到积分时，如果直近似的是常数，能够求出方程(4.20)在一个周期内的平均值

同样，如果方程(4.18)的各项乘上，方程(4.16)各项乘上，然后两个方程相加，再在一个周期内加以平均就得到

方程(4.20)和(4.21)能够联立起来进行积分，以求得作为时间函数的振幅和相位的近似瞬变解。

令方程(4.21)中的输入的能量就超过阻尼消耗的能量，振幅也就回复到稳态的稳定振幅。

如果利用正方形截面的铅直力系数的三次曲线近似，则，并且求由此得到的多项式的如图所表示的稳态振幅解，就得到各个稳态解。

如果振幅比稳态的稳定振幅稍微增大，那么消耗的能量就超过气动力方程式输入的能量，振幅就降到稳定值。如果振幅比稳态的稳定振幅稍微减小，气动力方式输入的能量就超过阻尼消耗的能量，振幅也就回复到稳态的稳定振幅。

如果利用正方形截面的铅直力系数的三次曲线近似，则

其中，因为截面对于是对称的，所以这里只含有多项式的奇次项。将，代入方程((3.47)，并且令就求得各个稳态解。结果是

得到的二次方程式给出稳态的稳定解

其中

图 4.2 正方形截面的实验数据和响应

Fig 4.2 The experimental data and the response of square section

 图4.2利用较高次曲线拟合把这个解和帕金森和史密斯[13]的结构做了比较。有了无量纲变量和，就能够利用两个变量对响应作出全面描述。可惜，这个表述不能用于扭转弛振或者多自由度弛振。曲线在和之间的滞后部分含有两个稳定解。滞后现象是由度处曲线斜率的变化而产生的，它不能由三次曲线的拟合来再现。

振型形状和跨度方向上速度或者质量变化的影响，可以直截了当的包括到分析里面去，以便把分析的使用范围推广到具有正交振型的连续结构上去。推导出描述要讨论的结构的偏微分方程，选择最容易发生不稳定性的振型(通常是基波振型)，并利用把方程式化成形式和方程(4.13)相同的常微分方程。通常，如果结构的固有频率距离很远，连续结构的响应和一个自由度模型的响应就很相似。

五、弛振分析

影响弛振的主要因素有:

1. 力系数中的一次方项系数是发生弛振的关键因素。发生弛振时，必须大于零，而同时还必须满足。从式(3.8)的的各项可以看到，如果，是因为第一、三和四项中，和造成的。当然这三个参数其中一个或是两个为负就有可能产生弛振。在风洞实验的，的图形曲线中，对应某一个值的任何一个、和都要对它们进行弛振分析。
2. 攻角时，或者说在不大的攻角范围内，发生弛振的可能性大。这里因为大的角，表达式中系数可能是很大的负值，因而发生弛振的可能性不大。
3. 由式(3.8) (3.9)可以看到，侧力系数的高次项并不影响弛振临界风速的值。但它们却能使弛振发散的加快，即它们是弛振中的一小部分。
4. 值是发生弛振的关键因素，影响值的不仅是结构的剖面形状，还有主视和侧视的形状，横剖面的相对厚度和结构的相对高度。往往我们只注意剖面形状，而忽略了其它的方面。但雷诺数影响甚微。在应用二维的风洞实验资料时，要注意三维的修正，可惜这方面的研究尚少。
5. 轻质、高柔、小阻尼的结构最有可能发生弛振。式(4.11)中的分子有和，如果小则就小，如果小、大则就小。所以小的 , EI和大的H可以降低临界弛振速度同时导致弛振发散很快。此外，结构高的长细比也会使弛振加剧，这是因为式(4.11)中的分子含有剖面尺寸的平方项，而分母含有剖面尺寸的一次项。