最长公共子序列及其引申问题

最长公共子序列是经典的动态规划问题,在很多书籍和文章中都有介绍,这里对这一经典算法进行回顾并对两个follow up questions进行总结和分析。

1. 回顾LCS(longest common subsequence)解法,求LCS长度

典型的双序列动态规划问题,dp[i][j]表示第一个序列前i项与第二个序列的前j项....

所以对应此题,dp[i][j]表示序列s1的前i项与序列s2的前j项的最长公共子序列。

得到如下递推关系式:

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1                  if s1[i - 1] == s2[j - 1]

    = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])   if s1[i - 1] != s2[j - 1] ;

对dp[0][j] j = 0,1,... 于 dp[i][0] i = 0,1...初始化,根据递推关系式则可以得到结果。

程序:

 1 int longsetCommonSubsequence(const string& s1, const string& s2) {
 2     int sz1 = s1.size(), sz2 = s2.size();
 3     int dp[sz1 + 1][sz2 + 1];
 4     for (int i = 0; i <= sz1; ++i) {
 5         dp[i][0] = 0;
 6     }
 7     for (int i = 0; i <= sz2; ++i) {
 8         dp[0][i] = 0;
 9     }
10     for (int i = 1; i <= sz1; ++i) {
11         for (int j = 1; j <= sz2; ++j) {
12             if (s1[i] == s2[j]) {
13                 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
14             }
15             else {
16                 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
17             }
18         }
19     }
20     return dp[sz1][sz2];
21 }

 

2. 如何得到最长公共子序列?

其实本质上,当有了dp数组时,即得到了行程LCS的所有信息。

我们考察一个例子,求s1 = "ABCBDAB" 和 s2 = "BDCABA"的 LCS, 得到其dp数组如下。(图片来自邹博)

我们可以看到,当dp数组被填充完毕后。反向探索LCS的形成过程,结合递推公式可知,每一个添加到LCS中的字符是在s1[i - 1] == s2[j - 1]的情况下加入的。

也就是上述图中向同时向左上方的那些步骤,而对应s1[i - 1] != s2[j - 1]的那些步骤,则选择其dp值大的(原因在于生成的时候路径就是选的max)进行前进即可。

所以总结寻找LCS的算法步骤即:

如果s1[i - 1] == s2[j - 1],将其push_back到结果中;

如果s1[i - 1] != s2[j - 1],选择dp[i - 1][j]与dp[i][j - 1]中大的更新i--或j--。

直到i或者j达到0后,翻转上述结果即可。

代码:

 1 string longsetCommonSubsequence2(const string& s1, const string& s2) {
 2     int sz1 = s1.size(), sz2 = s2.size();
 3     int dp[sz1 + 1][sz2 + 1];
 4     for (int i = 0; i <= sz1; ++i) {
 5         dp[i][0] = 0;
 6     }
 7     for (int i = 0; i <= sz2; ++i) {
 8         dp[0][i] = 0;
 9     }
10     for (int i = 1; i <= sz1; ++i) {
11         for (int j = 1; j <= sz2; ++j) {
12             if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
13                 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
14             }
15             else {
16                 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
17             }
18         }
19     }
20     string result;
21     int i = sz1, j = sz2;
22     while (i > 0 && j > 0) {
23         if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) { //对应的是s1[i - 1], s2[j - 1]
24             result.push_back(s1[i - 1]);
25             i--;
26             j--;
27         }
28         else {
29             if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
30                 i--;
31             }
32             else {
33                 j--;
34             }
35         }
36     }
37     reverse(result.begin(), result.end());
38     return result;
39 }

 

3. 有多组解都要输出怎么办?

首先考虑什么时候会有多组解?还考虑上述图示可以发现,当s1[i - 1] != s2[j -1]但 dp[i - 1][j] == dp[i][j - 1]时,i--, j--均可。所以可能产生多组解。

想要输出所有解的想法其实也很直观,就是DFS,把所有情况都遍历一遍,并进行去重(代码中find语句),把不同路径的相同解删除掉,即可得到所有解。

一段完整的,带简单测试的程序如下:

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 #include <vector> 
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 vector<int> temp;
 7 vector<vector<int>> resultIndex;
 8 void dfs(const vector<vector<int>>& dp, const string& s1, const string& s2, int i, int j) {
 9     if (i == 0 || j == 0) {
10         if (find(resultIndex.begin(), resultIndex.end(), temp) == resultIndex.end()) {
11             resultIndex.push_back(temp);
12         }
13         return ;
14     }
15     if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
16         temp.push_back(i - 1);
17         dfs(dp, s1, s2, i - 1, j - 1);
18     }
19     else {
20         if (dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]) {
21             dfs(dp,s1,s2,i - 1, j);
22         }
23         else if (dp[i - 1][j] < dp[i][j - 1]) {
24             dfs(dp, s1, s2, i, j - 1);
25         }
26         else {
27             vector<int> temp2 = temp;
28             dfs(dp,s1,s2,i - 1, j);
29             temp = temp2;
30             dfs(dp,s1,s2,i, j - 1);
31         }
32     }
33     return;
34 }
35 
36 vector<string> longsetCommonSubsequence2(const string& s1, const string& s2) {
37     int sz1 = s1.size(), sz2 = s2.size();
38     vector<vector<int>> dp(sz1 + 1,vector<int>(sz2 + 1));
39     for (int i = 0; i < sz1; ++i) {
40         dp[i][0] = 0;
41     }
42     for (int i = 0; i < sz2; ++i) {
43         dp[0][i] = 0;
44     }
45     for (int i = 1; i <= sz1; ++i) {
46         for (int j = 1; j <= sz2; ++j) {
47             if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
48                 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
49             }
50             else {
51                 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
52             }
53         }
54     }
55     vector<string> result;
56     dfs(dp,s1,s2,sz1,sz2);
57     for (int i = 0; i < resultIndex.size(); ++i) {
58         string s;
59         result.push_back(s);
60         for (int j = resultIndex[i].size() - 1; j >= 0; --j) {
61             result[i].push_back(s1[resultIndex[i][j]]);
62         }
63     }
64     return result;
65 
66 }
67 
68 int main() {
69     string s1 = "ABCBDAB", s2 = "BDCABA";
70     vector<string> result = longsetCommonSubsequence2(s1,s2);
71     for (int i = 0; i < result.size(); ++i) {
72         cout << result[i] << endl;
73     }
74     return 0;
75 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/wangxiaobao/p/5982901.html

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