简单线性回归(Simple Linear Regression)

0.前提介绍:
为什么需要统计量?
统计量:描述数据特征
0.1集中趋势衡量
0.1.1均值(平均数，平均值) (mean)：（求和除以个数，Ex也可以表示x求均值）

0.1.2中位数(median) : 将数据中的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的变量
0.1.2.1.给数据排序: 1，2，2，6，9
0.1.2.2.找出位置处于中间的变量: 2
当n为奇数的时候:直接取位置处于中间的变量
当n为偶数的时候，取中间两个量的平均值
0.1.2众数(mode) : 数据中出现次数最多的数
0.2.1.离散程度衡量
0.2.1.1方差(variance)：

例如：{6, 2,9,1, 2}
(1)(6- 4)^2 + (2- 4)^2 + (9- 4)^2 +(1- 4)^2 + (2- 4)^2
=4+4+25+9+4= 46
(2) n-1=5-1=4
(3) 46/ 4 = 11.5
0.2.1.2标准差(standard deviation)：方差开平方

S= sqrt(11.5) = 3.39
1.回归问题与分类问题区别：
回归(regression) :Y变量为连续数值型( continuous numerical variable)
如:房价，人数，降雨量
分类( Classification): Y变量为类别型(categorical variable)
如:颜色类别，电脑品牌，有无信誉

2.简单线性回归( Simple Linear Regression)
2.1很多做决定过过程通常是根据两个或者多个变量之间的关系
2.3回归分析(regression analysis)用来建立方程模拟两个或者多个变量之间如何关联
2.4被预测的变量叫做:因变量(dependent variable), y,即输出(output)
2.5被用来进行预测的变量叫做:自变量(independent variable), x,即输入(input)
3.简单线性回归介绍
3.1简单线性回归包含一个自变量(x)和一 个因变量(y)
3.2以上两个变量的关系用一条直线来模拟
3.3如果包含两个以上的自变量,则称作多元回归分析( multiple regression)
4.简单线性回归模型
4.1被用来描述因变量(y)和自变量(X)以及偏差(error)之间关系的方程叫做回归模型
4.2简单线性回归的模型是:

β为参数，X为自变量，ε为偏差
5.单线性回归方程：（ε满足正态分布，切均值为0）
E（y）=β0+β1x
这个方程对应的图像是一条直线， 称作回归线
其中，β0是回归线的截距
β1是回归线的斜率
E(y)是在一个给定x值下y的期望值(均值)
6.正向线性关系:

7.负向线性关系：

8.无关系：（斜率等于0）

 
9.估计的简单线性回归方程

b0为截距β0的估计值，b1是斜率β1的估计值
这个方程叫做估计线性方程( estimated regression line)
其中，bo是估计线性方程的纵截距
b是估计线性方程的斜率
y是在自变量x等于一个给定值的时候，y的估计值

10.线性回归分析流程:（ε的期望值（均值）为0，所以E（y）无ε）

11.关于偏差ε的假定
11.1是一个随机的变量，均值（或期望值）为0
11.2 ε的方差(variance)对于所有的自变量x是一样的
11.3 ε的值是独立的
11.4 ε满足正态分布
简单线性回归(Simple Linear Regression)下

简单线性回归模型举例:

汽车卖家做电视广告数量与卖出的汽车数里:

1.1如何练处适合简单线性回归模型的最佳回归线?

最佳回归线标准：（实际值y为红点，估计值y（hat）为线上的值）

使sum of squares（平方和）最小:

1.1.2最佳回归线计算

b0为截距β0的估计值，b1是斜率β1的估计值，（y ̅ 和x ̅ 都经过这条线，带入b1可求出b0）
分子= (1-2)(14-20)+(3-2)(24-20)+(2-2)(18-20)+(1-2)(17-20)+(3-2)(27-20)
=6+4+0+3+7
= 20
分母= (1-2) ^2 +(3-2)^2 +(2-2)^2+(1-2)2+ (3-2)^2
=1+1+0+1+1
=4
b1 = 20/4 =5
b0=20-5*2=20- 10= 10
实例code：

import numpy as np
def fitSLR(x,y):n = len(x) #x,y长度一样，包含相同元素个数denominator = 0 #分母，计算完数据后不会为0,numeritor = 0 #分子for i in range(0,n):#实例有n组数numeritor += (x[i]-np.mean(x))*(y[i]-np.mean(y))denominator += (x[i]-np.mean(x))**2 print('numeritor:',numeritor)print('denominator:',denominator)b1 = numeritor/float(denominator)b0 = np.mean(y) - (b1*np.mean(x))return b0,b1
def predict(x,b0,b1): #这里x为要预测的实例的值y_test=b0+b1*xreturn y_testx = [1,3,2,1,3]
y = [14,24,18,17,27]
b0,b1 = fitSLR(x=x,y=y)   
print('intercept:',b0)
print('slope:',b1)x_test = 6
y_test = predict(x_test,b0,b1)
print('y_test:',y_test)

其中x_ given= 6（实例）
==Y_ hat=5*6+ 10 = 40 ==
运行结果如下：
numeritor: 20.0
denominator: 4.0
intercept: 10.0
slope: 5.0
y_test: 40.0

多元线性回归（Multiple Regression）上

多元回归分析( multipleregression)
1.与简单线性回归区别( simple linear regression)：
MR有多个自变量(x)
2.多元回归模型
y=β0+β1 X1+β2X2+ … +βpXp+ε （多元的平面）
其中:β0（截面）, β1, β2…βp是参数
ε是误差值
3.多元回归方程（等式左右同时取期望值，等式右边取期望值等于所有个体的期望值之和）
E(y)=β0+β1x1+B2X2+ … +βpXp
4.估计多元回归方程:
y_hat=b0+b1 x+b2x2+ … +bpXp
一个样本被用来计算β0, β1, β2… βp的点估计值分别为b0, b1, b2…，bp

5.估计流程(即预测过程，与简单线性回归类似一样)

Regression Model：y=β0+β1x+β2x+….βpx+ε，以下同理变化
Sample Data：现实中很多数据是难以统计完全的，所以用抽取的样本来计算.
6.估计方法
使sum of squares（平方和）最小：（多元曲面上估算值到实际值的差之和最小）

运算与简单线性回归类似，涉及到线性代数和矩阵的运算
7.例子（使用python计算）
一家快递公司送货 ， X1 :运输里程(mile)；X2 :运输次数；Y :总运输时间(h).

Time = b0+ b1Miles + b2Deliveries
计算结果：（下节课做详细运算）
Time = -0.869 + 0.0611 Miles + 0.923 Deliveries
8.描述参数含义
b0: 常数项
b1: 平均每多运送一英里，运输时间延长0.0611小时
b2:平均每多一次运输， 运输时间延长0.923小时

9.预测
如果一个运输任务是跑102英里，运输6次，预计多少小时?
Time = -0.869 +0.0611102+ 0.923 6=10.9 (小时)
10.如果自变量（x）中有分类型变量( categorical data) ,如何处理?
（regression与classfication的区别在于y是否连续）
答：x既可以使用连续性变量也可以使用分类型变量

0,1,2只是作为标签，与其本身大小无关

11.关于误差的分布
误差ε是一个随机变量,均值为0
ε的方差对于所有的自变量来说相等
所有ε的值是独立的
ε满足正态分布，并且通过β0+ β1 x1+β2x2+ … +βpxp反映y的期望值

多元线性回归（Multiple Regression）下

一家快递公司送货 ， X1 :运输里程(mile)；X2 :运输次数；Y :总运输时间(h).

目的，求出b0, b1,…bp:
Y_ hat=b0+b1X1+b2X2+ … +bpXp.

多元线性回归code实例：

from numpy import genfromtxt #将csv文件的数据转换成np的array形式
import numpy as np
from sklearn import datasets,linear_model#1.导入数据
dataPath = r'C:\Users\Administrator.Bili-2019LEMOKD\Desktop\新建文件夹\Delivery.csv'
DeliveryData = genfromtxt(dataPath,delimiter=',') #genfromtxt将数据转换成矩阵形式；csv文件每个cell以逗号为分隔符，所以分隔符为","
print(DeliveryData) #会自动将文件中的数据读取并转换为矩阵形式，并放到文件的第一行第一列开始
X = DeliveryData[:, :-1]#取所有维度第一(0)列和第二(1)列的数作为x（取左不取右，所以不含倒数第一列）
# print(X)
Y = DeliveryData[:,-1]
# print(Y)#2.建模
regr = linear_model.LinearRegression()
regr.fit(X,Y)
print('coefficient:',regr.coef_)   #x的系数（b1~bp）
print('intercept',regr.intercept_) #截距（面）#3.预测
xSample = np.array([[102,6]]) #array！！
yPred = regr.predict(xSample)
print('predicted y:',yPred)

运行结果如下：
[[100. 4. 9.3]
[ 50. 3. 4.8]
[100. 4. 8.9]
[100. 2. 6.5]
[ 50. 2. 4.2]
[ 80. 2. 6.2]
[ 75. 3. 7.4]
[ 65. 4. 6. ]
[ 90. 3. 7.6]
[ 90. 2. 6.1]]
coefficient: [0.0611346 0.92342537]
intercept -0.868701466781709
predicted y: [10.90757981]

如果自变量中有分类型变量(categorical data) ：
将车型Dummy Varible转换成0和1：

同样可以用上面的代码执行：

from numpy import genfromtxt #将csv文件的数据转换成np的array形式
import numpy as np
from sklearn import datasets,linear_model#1.导入数据
dataPath = r'C:\Users\Administrator.Bili-2019LEMOKD\Desktop\新建文件夹\DeliveryDummy.csv'
eliveryData = genfromtxt(dataPath,delimiter=',')
print(DeliveryData) 
'''打印出结果如果莫名多出几行(-1或nan)，可能是复制数据到csv文件时有空数据，进入csv删除那几行即可'''
X = DeliveryData[:, :-1]
print('X:',X)
Y = DeliveryData[:,-1]
print('Y:',Y)#2.建模
regr = linear_model.LinearRegression()
regr.fit(X,Y)
print('coefficient:',regr.coef_)   #x的系数（5个x，b1~b5）
print('intercept',regr.intercept_) #截距（面）#3.预测
xSample = np.array([[102,6,0,1,0]]) #array！！
yPred = regr.predict(xSample)
print('predicted y:',yPred)

运行结果如下：
[100. 4. 0. 1. 0. 9.3]
[ 50. 3. 1. 0. 0. 4.8]
[100. 4. 0. 1. 0. 8.9]
[100. 2. 0. 0. 1. 6.5]
[ 50. 2. 0. 0. 1. 4.2]
[ 80. 2. 0. 1. 0. 6.2]
[ 75. 3. 0. 1. 0. 7.4]
[ 65. 4. 1. 0. 0. 6. ]
[ 90. 3. 1. 0. 0. 7.6]]
X: [[100. 4. 0. 1. 0.]
[ 50. 3. 1. 0. 0.]
[100. 4. 0. 1. 0.]
[100. 2. 0. 0. 1.]
[ 50. 2. 0. 0. 1.]
[ 80. 2. 0. 1. 0.]
[ 75. 3. 0. 1. 0.]
[ 65. 4. 1. 0. 0.]
[ 90. 3. 1. 0. 0.]]
Y: [9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6. 7.6]
coefficient: [ 0.05553544 0.69257631 -0.17013278 0.57040007 -0.40026729]
intercept 0.1999568891188126
predicted y: [10.59042938]