概率论与贝叶斯先验

文章目录

  • 概率论与贝叶斯先验
    • 概率论基础
      • 问题代码
      • 图像
        • 本福特定律
          • 应用：公路堵车模型
            • 代码模型
            • 初速不同：影响不大
            • 减速概率：影响大
          • 应用：商品推荐
            • 解答
      • 概率公式
        • 应用
        • 样本贝叶斯公式
      • 分布
        • 两点分布
        • 二项分布
        • 泊松分布
          • 期望和方差表示强度应用
        • 均匀分布
        • 指数分布
          • 无记忆性
          • 半记忆性
        • 正态分布
          • EX
          • DX
          • 代码
          • 图像
        • Beta分布
          • 期望
          • 图像
        • 指数族
          • 伯努利分布应用
            • 参数Logistic方程
        • 作用：分类需要假定模型
          • 得到似然函数
      • 事件独立性
    • 统计量
      • 期望
        • 性质
        • 应用
          • 答案
          • 代码
          • 进一步思考
        • 应用2
      • 方差
        • 性质
          • 应用
          • 切尔雪夫不等式
            • 应用
      • 协方差
        • 意义
          • 协方差上界
            • 上界证明
        • 协方差矩阵
      • 相关系数为0不相关
        • 代码
        • 一次
        • 二次
        • 正切
        • 二次函数
        • 椭圆
    • 大数定律
      • 意义
      • 推论
        • 引用
    • 中心极限定理
      • 意义
      • 应用

概率论与贝叶斯先验

概率论基础

统计数字的概率
给定某正整数N，统计从1到N！的所有数中，首位数字出现1的概率。
进而，可以计算首位数字是2的概率，是3的概率，从而得到一条“九点分布”

问题代码

def first_digital(x):while x>=10:x/=10return x
if _name_=="_main_":n=1frequency=[0]*9//造一个数据for i in range(1,1000):n*=im=first_digital(n)-1frequency[m]+=1print frequencyplt.plot(frequency,'r-',linewidth=2)plt.plot(frequency,'go',makersize=8)			plt.grid(True)plt.show

在这里插入图片描述

图像

在这里插入图片描述

本福特定律

在这里插入图片描述

应用：公路堵车模型

路面上有N辆车，以不同速度向前行驶，模拟堵车问题。有以下假设：

  1. 假设某辆车当前速度是v
  2. 若前方可见范围没车，则它下一秒车速提升至v+1，直到达到最高的规定速度。
  3. 若前方有车，前方车的距离为d，且d<v,则它下一秒车速降至d-1
  4. 每辆车会议随机概率减速v-1
代码模型
path=5000       #环形公路长度
n=100           #公路中的车辆数目
v0=5            #车辆初始速度
p=0.3           #随机减速概率
Times=3000
np.random.send(0)
x=xp.random.rand(n)*path
x.sort()
v=np.title([v0],n).astype(np.float)plt.figure(figize=(10,8),facecolor
for t in range(Times):plt.scatter(x,[t])*n,s=1,c='k',for i in range(n):if x[(i+1)%n]>x[i]:d=x[(i+1)%n]-x[i]else:d=path-x[i]+x[(i+1)if v[i]<d:if np.random.rand()>p:v[i]+=1else:v[i]-=1else:v[i]=d-1v=v.clip(0,150)x+=vclip(x,path)
plt.xlim(0,path)
plt.ylim(0,path)
plt.xlabel(u'车辆位置',fontsize=16)	
plt.ylabel(u'模拟时间',fontsize=16)		
plt.title(u'环形公路车辆模拟',fontsize=16)
plt.tight_layout(pad=2)	
plt.show()

在这里插入图片描述
其中c，python随机是伪随机

初速不同：影响不大

在这里插入图片描述

减速概率：影响大

在这里插入图片描述

应用：商品推荐
  1. 商品推荐场景中过于聚焦的商品推荐往往会损害用户的购物体验，在有些场景中，系统会通过一定程度的随机性给用户带来发现的惊喜感
  2. 假设某推荐场景中，经计算A和B两个商品与当前访问用户匹配度分别为0.8分和0.2分，系统将随机为A生成一个均匀分布于0和0.8的最终评分，为B生成一个均匀分布于0和0.2最终评分，并计算最终B分数大于A分数概率
解答

A=B直线上方区域即为B>A情况在这里插入图片描述

概率公式

条件概率
在这里插入图片描述
全概率公式
在这里插入图片描述
贝叶斯公式
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

应用

在这里插入图片描述

样本贝叶斯公式

在这里插入图片描述

分布

两点分布

在这里插入图片描述

二项分布

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

泊松分布

推导
在这里插入图片描述
期望和方差
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

期望和方差表示强度应用

在这里插入图片描述

均匀分布

在这里插入图片描述

指数分布

在这里插入图片描述
分部积分法 中间减在这里插入图片描述

无记忆性

在这里插入图片描述

半记忆性

马尔可夫模型

正态分布

在这里插入图片描述

EX

在这里插入图片描述

DX

在这里插入图片描述

代码
import...
mp1.rcParams['axes.unicode_minus']=False
mp1.rcParams['font.sans-serif']='SimMEI'if __name__='__main__':x1,x2=np.mgrid[-5:-5:51j,-5:-5:51j]x=np.stack((x1,x2),axis=2)plt.figure(figsize=(9,8),facecolar='w')sigma=(np.identity(2）,np.diag((3,3)),np.diag((2,5)),np.array(((2,1),(2,5)))for i in np.arrange(4):ax=plt.subplot(2,2,i+1,projection='3d')norm=states.multivariate_normal((0,0),sigma[i])y=norm.pdf(x)ax.plot_surface(x1,x2,y,cmap=cm.Accent,rstride=4,cstride=4,alpha=0.9,lw=0.3)ax.set_xlabel(u'X')ax.set_ylabel(u'Y')ax.set_zlabel(u'Z')plt.suptitle(u'二元高斯分布方差比较',fontsize=18)plt.tight_layout(1.5)plt.show()
图像

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
方差大，半轴长
在这里插入图片描述
斜的
在这里插入图片描述

Beta分布

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推导过程
在这里插入图片描述

期望

在这里插入图片描述

图像

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指数族

在这里插入图片描述
指数族分布：一个峰可能是指数族：高斯分布
在这里插入图片描述
多个峰一定不是指数族分布

伯努利分布应用

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
推导参数Logistic方程

参数Logistic方程

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

作用：分类需要假定模型

在这里插入图片描述

得到似然函数

事件独立性

给定A和B事件，若有P（AB)=P(A)P(B) 则称事件A和B相互独立
说明
A和B独立，则P(A|B)=P(A)
实践中往往根据两个事件是否互相影响而判断独立性，如给定M个样品，若干次采样等情形，往往假设他们相互独立
思考：给出A,B相互包容的信息量的定义I(A,B)要求：如果A,B独立，则I(A,B)=0
在这里插入图片描述

统计量

期望

离散型在这里插入图片描述
连续型在这里插入图片描述
概率加权下“平均值”

性质

无条件成立
E(kX)=kE(X)
E(X+Y)=E(x)+E(Y)
若X和Y相互独立
E(XY)=E(X)E(Y)
反之不成立。事实上，若E(XY)=E(X)E(Y),只能说明X和Y不相关

应用

从1，2，3……98，99，2015这100个数中任意选择若干个数（可能为0个数）求异或，是求异或期望值

答案

在这里插入图片描述
首先我们来分析 2015这个值，

在1,2,3,…,98,99这99个数中任意选择若干个数的选法一共有在这里插入图片描述种，

而在1,2,3,…,98,99,2015这100个数中任意选择若干个数的选法一共有在这里插入图片描述

种，

因此在全部的选法中，出现2015的概率为（2100-299）/2^100=0.5
分析1～99 和2015这些数的特点

（2015） = 111 1101 1111

（99） = 000 0110 0011

我们发现：前4位取0或1，完全是由2015这个数决定的。

因此，设，每一位的取值用Xi表示

前4位 中每一位 P（Xi = 1）= P（出现2015）= 1/2
分析除前四位的其他位
设第 i 位共有n个1，m个0
采样取到1的个数为K
在这里插入图片描述
因为，一列数据求异或时，0其实不起作用的，主要还是看1的个数，偶数个1 异或记过为0，基数个1 异或为结果为1.
在这里插入图片描述

代码

在这里插入图片描述

进一步思考

在这里插入图片描述

应用2

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

方差

在这里插入图片描述

性质

在这里插入图片描述

应用

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

切尔雪夫不等式

在这里插入图片描述

应用

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

协方差

在这里插入图片描述
独立，协方差为0
协方差为0，不相关， 不一定独立，线性独立

意义

协方差是两个随机变量具有相同方向变化趋势的度量
若Cov（X,Y)>0,他们变化趋势相同
若Cov（X,Y)<0,他们变化趋势相反
若Cov（X,Y)=0,称x和y不相关

协方差上界

在这里插入图片描述

上界证明

在这里插入图片描述

协方差矩阵

在这里插入图片描述

相关系数为0不相关

在这里插入图片描述

代码

def calc_pearson(x,y):std1=np.std(x)std2=np.std(x)cov=np.cov(x,y,bias=True)[0,1]return cov/(std1*std2)
def pearson(x,y,tip):clrs=list('rgbmyc')plt.figure(figsize=(10,8),facecolor='w')for i,theta in enumerate(np.linspace(0,90,6)):xr,yr=rotate(x,y,theta)p=states.pearson(xr,yr)[0]print'旋转角度:',theta,'Pearson相关系数:',pstr=u'相关系数:%.3f'%pplt.scatter(xr,yr,s=40,alpha=0.9,lineswidth=0.5,c=clr)plt.legend(loc='upper left',shadow=True)plt.xlabel(u'x')	plt.ylabel(u'y')plt.title(u'Pearson相关系数与数据分布:%s'% tip,fontsize=18)plt.grid(b=True)plt.show()

一次

tip=u'一次函数关系'
x=np.random.rand(N)
y=np.zero(N)+np.random.randn(N)*0.001

在这里插入图片描述

二次

tip=u'二次函数关系'
x=np.random.rand(N)
y=x**2

在这里插入图片描述

正切

tip=u'正切关系'
x=np.random.rand(N)*1.4
y=np.tan(x)

在这里插入图片描述

二次函数

tip=u'二次函数关系'
x=np.linspace(-1,1,101)
y=x**2

在这里插入图片描述

椭圆

tip=u'椭圆'
x,y=np.random.rand(2,N)*60-30
y/=5
idx=(x**2/900+y**2/36<1)
x=x[idx]
y=y[idx]

在这里插入图片描述

大数定律

在这里插入图片描述

意义

在这里插入图片描述

推论

一次实验中事件A发生概率为p；重复n次独立实验中
事件A发生了nA次，则p，n，nA关系满足
在这里插入图片描述

引用

上述事件为我们实际应用中用频率来估计概率提供一个理论依据
正态分布的参数估计
朴素贝叶斯做垃圾邮件分类
隐性马尔可夫模型做有监督学习

中心极限定理

在这里插入图片描述

意义

实际问题中，很多随机现象可以看作许多因素的独立影响 综合反应，很多近似服从正态分布
城市耗电量：大量用户的耗电量综合
测量误差：许多观察不到微小的变化
注意：多个随机变量的和才可以，有些问题乘性误差，则需要鉴别或者取对数后才可以使用
线性回归中，使用该理论论证最小二乘法

应用

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

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