51nod 1379 索函数

Fib[0]=0,Fib[1]=1,Fib[n]=Fib[n-1]+Fib[n-2] if n>1.

定义索函数Sor(n)=Fib[0]| Fib[1] |Fib[2]|…|Fib[n].

给定整数n，要求计算Sor(n)%1,000,000,007(1e9+7).

 

Input

第1行：给出一个整数T，表示有T组数据。(1<=T<=10000)
第2行到T+1行，每行一个整数n。(0<=n<=10^10)

Output

对于每个测试用例，输出结果占一行。

Input示例

2
1
2

Output示例

1
1

思路：
　　因为是或运算，那么将其Sor(n)转化为二进制，每一位上的值均应该为1，那么我们只需要求出二进制的位长，便可以求得Sor(n)。
　　对于斐波那契数列数列有： 

　　　

 

　　此时求其以2为底的对数，无法去掉n次幂，很难进行进一步化简，我们继续考虑：

　　当n趋近于无穷大时:

　　的值趋近于0，

 

　　即此时求出Sor(n)转化为二进制时的长度为：

log2(15√(1+5√2)n)

log2(15√(1+5√2)n)

　　　

 

　　进行化简得：

　　

 

　　可以O(1)求出Sor(n)的位长len，通过快速幂求出 2^(len+1)的值后减去一得到Sor(n)的数值。

 

　　蛮有意思的一道题目。

 

　　

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAXSIZE 90
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long longconst int mod = 1e9+7;double f[MAXSIZE];LL Pow(LL a,LL n)
{LL ans = 1;while(n){if(n & 1){ans = (ans*a)%mod;}a = (a*a)%mod;n >>= 1;}return ans%mod;
}LL Solve(LL n)
{LL ans,len;if(n < MAXSIZE){len = log(f[n])/log(2.0);}elselen = n*log((1+sqrt(5.0))/2.0)/log(2.0) - log(sqrt(5.0))/log(2.0);ans = Pow(2,len+1);return ans;
}int main()
{f[0] = 0;f[1] = 1;f[2] = 1;for(int i=3;i<MAXSIZE;i++){f[i] = f[i-1] + f[i-2];}int T;LL n;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);if(n==0){printf("0\n");continue;}LL ans = Solve(n);printf("%lld\n",ans-1);}return 0;
}