位运算实现四则运算(C++实现)

前言

Leetcode中有一道这样的题:给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。
如果正常的四则运算符号不允许使用，呢这道题的考点我觉得应该是位运算来实现，遇到了就好好复习一下，下面将介绍二进制实现四则运算:

二进制码

位运算是基于二进制运算的，实际上目前的计算机都只识别二进制码，我们所写的一切指令事实上都是一串010101数字、传输数据也是按比特流的形式传输的。所以先介绍二进制码:

原码

最高位表示符号位（0代表正数，1代表负数）。剩下的位数，是这个数的绝对值的二进制。
比如 一个int变量大小为4字节，在32位的编译器中的二进制表示就是00000000 00000000 00000000 0000000

10 的原码  00000000 00000000 00000000 00001010
−10的原码 10000000 00000000 00000000 00001010

反码

正数的反码和其原码是一样的
负数的反码就是在其原码的基础上 符号位不变 其他位取反。

10的反码：  00000000 00000000 00000000 00001010
−10的反码：11111111  11111111 11111111 11110101

补码

正数的补码就是其原码
负数的补码就是在其反码的基础上+1

10的补码：00000000 00000000 0000000 00001010 
−10的补码：11111111 11111111 11111111 11110110

在计算机系统中，数值一律用补码来表示:因为补码可以是符号位和数值位统一处理，同时可以试减法按照加法来处理。

位运算加法

0111 ^ 0101 = 0010; //结果的每一位等于对应位相加模二，刚好是不带进位的加法结果。
0111 & 0101 = 0101; //结果的1表示对应位相加为2，0表示对应位相加小于二，刚好是进位标识。

所以有:

int add(int a, int b)
{return (b == 0) ? a : add(a^b, (a&b) << 1);
}

位运算减法

减法其实就是加上这个数的相反数，这个数原来是用正数的补码表示的，现在变成负数的补码形式了:所以只需要将这个数每一位取反再末尾家一就行了:

int subtraction(int a, int b)
{b = add(~b, 1);return add(a, b);
}

位运算乘法

对于a * b，每次只需要将a左移一位乘上b的对应位，然后同上一次的结果做加法即可。
当b的对应位为1时，对a左移一位然后同上一次的结果做加法;如果b的对应位为0，只对a左移一位。

int getsign(int n)
{return n >> 31;
}int positive(int n)
{return (getsign(n) & 1) ? add(~n,1): n;
}int multiply(int a, int b)
{bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;a = positive(a);b = positive(b);int res = 0;while (b) {if (b & 1)res = add(res, a);   //只有当前b末尾为1时才运算a = a << 1;  b = b >> 1;}if (flag)add(~res, 1);return res;
}

位运算除法

同乘法一样，除法也可以进行二进制笔算，以a / b为例，只有当a >= b时才可以上商，又因为是二进制，所以商每次只会多1，在每次上1之后a都要减去一次b。

int divide(int a, int b)
{if (b == 0)throw runtime_error("DIVIDED CANNOT BE 0");bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;a = positive(a);b = positive(b);int res = 0;while (a >= b){res = add(res, 1);a = subtraction(a, b);}return flag ? add(~res, 1) : res;
}

总代码如下:

int add(int a, int b)
{return (b == 0) ? a : add(a^b, (a&b) << 1);
}int subtraction(int a, int b)
{b = add(~b, 1);return add(a, b);
}int getsign(int n)
{return n >> 31;
}int positive(int n)
{return (getsign(n) & 1) ? add(~n,1): n;
}int multiply(int a, int b)
{bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;a = positive(a);b = positive(b);int res = 0;while (b) {if (b & 1)res = add(res, a);   //只有当前b末尾为1时才运算a = a << 1;  b = b >> 1;}if (flag)add(~res, 1);return res;
}int divide(int a, int b)
{if (b == 0)throw runtime_error("DIVIDED CANNOT BE 0");bool flag = (getsign(a) ^ getsign(b)) ? 1 : 0;a = positive(a);b = positive(b);int res = 0;while (a >= b){res = add(res, 1);a = subtraction(a, b);}return flag ? add(~res, 1) : res;
}