二分查找（Binary Search）

1.递归实现

int binarySearchRecursive(int a[],int low,int high,int key){if(low>high)return -(low+1);int mid=low+(high-low)/2;if(key<a[mid])return binarySearchRecursive(a,low,mid-1,key);else if(key > a[mid])return binarySearchRecursive(a,mid+1,high,key);elsereturn mid;}int binarySearchRecursive(int a[],int n,int key){return binarySearchRecursive(a,0,n-1,key);
}

2.非递归实现

int binarySearch(int a[],int n,int key){int low=0,high=n-1;int mid;while(low<=high){mid=low+(high-low)/2;if(key<a[mid])high=mid-1;else if(key>a[mid])low=mid+1;elsereturn mid;}return -(low+1);
}

3.二分查找的一种版本，现实需求中可能需要查找“在不破坏有序的状态的原则下，可插入key的第一个位置”。

/*返回递增数组中第一个不小于key的数的索引，即在不破坏排序状态的原则下，可插入key的第一个位置。
算法思想：循环不变式为a[low]<key&&a[high]>=key，
所以当low+1==high && high<n时，high就应该是第一个大于等于key的数的索引;
但是当high==n，这时就可以判断数组中没有大于等于key的值，则插入位置为high，返回-(high+1);*/
int lowerBound(int a[],int n,int key){int low=-1,high=n;//假设n>=0, a[-1]<key&&a[n]>=key(但是程序并不访问这两个假想的元素)int mid;while(low+1!=high){mid=low+(high-low)/2;if(a[mid]<key)low=mid;//修正low,确保满足循环不变式中a[low]<keyelsehigh=mid;//修正high,确保满足循环不变式中a[high]>=key
    }int index=high;//第一个大于等于key的数的索引/*判断第一个大于等于key的数a[index]是否存在数组中*/if(index>=n||a[index]!=key)//不存在index=-(high+1);//修正index为负的插入位置的后一个位置return index;
}

4.二分查找的一种版本，现实需求中可能需要查找“在不破坏有序的状态的原则下，可插入key的最后一个位置”。

/*upperBound试图在已排序数组中寻找可插入key的最后一个合适的位置。
算法思想：循环不变式为a[low]<=key&&a[high]>key，
所以当low+1==high && low>=0时，low就应该是第一个大于key的数的索引;
但是当low<0，这时就可以判断数组中没有小于等于key的值，则插入位置为low+1，返回-(low+1+1)*/
int upperBound(int a[],int n,int key){int low=-1,high=n;//假设n>=0, a[-1]<=key&&a[n]>key(但是程序并不访问这两个假想的元素)int mid;while(low+1!=high){mid=low+(high-low)/2;if(a[mid]<=key)low=mid;//修正low,确保满足循环不变式中a[low]<=keyelsehigh=mid;//修正high,确保满足循环不变式中a[high]>key
    }int index=low+1;//第一个大于key的数的索引/*判断最后一个小于等于key的数a[low]是否存在数组中*/if(low<=-1||a[low]!=key)//不存在index=-(low+1+1);//修正index为负的插入位置的后一个位置return index;
}

幸运的是，STL在<algorithm>中实现了这些算法的泛型版本。对应的函数分别为：binary_search, lower_bound, upper_bound

其内部实现非常精妙，详见侯捷的《STL 源码剖析》。当然思想与上文实现大同小异，但是速度方面有待验证。

此外，C库函数也提供了void* bsearch(const void *key, const void *base, size_t n, size_t size, int (*com) (const void *first, const void *second) )。

下面给出以上函数的例子：

#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<ctime>
using namespace std;//print a array with macro
#define printArray(arr,n) for(int i=0;i<n;i++){\cout<<a[i]<<' ';\}\cout<<endl<<endl;\//compare function greater
int greater(const void *first,const void *second){int _first=*static_cast<const int*>(first);int _second=*static_cast<const int*>(second);if(_first>_second)return 1;else if(_first<_second)return -1;elsereturn 0;
}int main()
{srand(time(0));const int n=10;int a[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=rand()%20;}printArray(a,n);sort(a,a+n);printArray(a,n);int b;b=rand()%20;//b=a[0];//test 1// b=a[n-1];//2printf("searching %d ...\n",b);bool found=binary_search(a,a+n,b);if(found){//foundcout<<"found"<<endl;}else{cout<<"no found"<<endl;}cout<<"\nbsearch"<<endl;void* p=bsearch(&b,a,n,sizeof(int),::greater);if(p!=NULL){//foundcout<<"found "<<*static_cast<int*>(p)<<endl;}else{cout<<"no found"<<endl;}cout<<"\nbinarySearchRecursive"<<endl;int index=binarySearchRecursive(a,n,b);if(index>=0){cout<<"found! And index="<<index<<endl;}else{cout<<"no found! But "<<b<<" should be insert at "<<-index-1<<endl;}cout<<"\nbinarySearch"<<endl;index=binarySearch(a,n,b);if(index>=0){cout<<"found! index="<<index<<endl;}else{cout<<"no found! But "<<b<<" should be insert at "<<-index-1<<endl;}int* bound=NULL;bound=lower_bound(a,a+n,b);cout<<"lower bound: ";if(bound!=NULL){//existcout<<*bound;}else{cout<<"no exist";}cout<<endl;bound=upper_bound(a,a+n,b);cout<<"upper bound: ";if(bound!=NULL&&bound<a+n){//exist. /*这里需要检查bound是否在数组中，因为最大值的upper_bound返回其下一个位置，即a+n。而lower_bound一定指向数组外面。*/cout<<*bound;}else{cout<<"no exist";}cout<<endl;cout<<"\nlowerBound"<<endl;int lIndex=lowerBound(a,n,b);if(lIndex>=0){cout<<"found! The index of lower bound is "<<lIndex<<endl;}else{cout<<"no found! The index of lower bound is "<<-lIndex-1<<endl;}cout<<"\nupperBound"<<endl;int uIndex=upperBound(a,n,b);if(uIndex>=0){cout<<"found! The index of upper bound is "<<uIndex<<endl;}else{cout<<"no found! The index of upper bound is "<<-uIndex-1<<endl;}
}

那么这些算法的执行时间又是咋样的呢？

我分别针对数组长度和选中概率（即，数组中数据被选中的概率）做了如下实验：

//生成超过RAND_MAX的大随机数
long bigRand(){return rand()*RAND_MAX+rand();
}int main()
{srand(time(0));//生成测试数组const int n=10000000;long* a=new long[n];for(int i=0;i<n;i++){a[i]=bigRand()%(n*4);//设定选中概率}//生成查找的数值const int times=10000;//测试次数long b[times];for(int i=0;i<times;i++){b[i]=bigRand()%(n*4);}clock_t start,end;//start=clock();sort(a,a+n);//end=clock();//printf("sort eclipse time: %.2f ms\n",double(end-start)*1000/CLOCKS_PER_SEC);
    start=clock();for(int i=0;i<times;i++){binarySearchRecursive(a,n,b[i]);}end=clock();printf("%-30s: %.2f ms\n","binarySearchRecursive",double(end-start)*1000/CLOCKS_PER_SEC);start=clock();for(int i=0;i<times;i++){binarySearch(a,n,b[i]);}end=clock();printf("%-30s: %.2f ms\n","binarySearch",double(end-start)*1000/CLOCKS_PER_SEC);//vector<int> vec(a,a+n);
start=clock();for(int i=0;i<times;i++){//binary_search(vec.begin(),vec.end(),b[i]);lower_bound(a,a+n,b[i]);}end=clock();printf("%-30s: %.2f ms\n","binary_search",double(end-start)*1000/CLOCKS_PER_SEC);start=clock();for(int i=0;i<times;i++){bsearch(&b[i],a,n,sizeof(int),::greater);}end=clock();printf("%-30s: %.2f ms\n","bsearch",double(end-start)*1000/CLOCKS_PER_SEC);delete []a;
}

Debug模式

选中概率为0.5

选中概率0.5
	执行1000次的总时间（ms）
数组长度	binarySearchRecursive	binarySearch	lower_bound	bsearch
10000000	13	5	28	12
1000000	10	3	22	9
100000	6	2	18	6
10000	6	2	15	5

选中概率为0.25

选中概率0.25
	执行1000次的总时间（ms）
数组长度	binarySearchRecursive	binarySearch	lower_bound	bsearch
10000000	15	5	28	13
1000000	10	3	21	8
100000	7	3	18	7
10000	5	2	15	5