SPOJ-OPTM Optimal Marks ★★(按位建图 最小割)

【题意】给出一个无向图，每个点有一个标号mark[i]，不同点可能有相同的标号。对于一条边(u, v)，它的权值定义为mark[u] xor mark[v]。现在一些点的标号已定，请决定剩下点的标号，使得总的边权和最小。（0 < N <= 500, 0 <= M <= 3000, 0 <= mark[i] <= 2^31-1） 胡伯涛神牛《最小割模型在信息学竞赛中的应用》中的例题。非常好的一道题！非常推荐！ 【思路】 我们把问题数学化就是：  Minimum  sigma(w_e) = sigma_{(u, v)∈E} ( mark(u) xor mark(v) ) 对于异或问题，我们发现这样的二进制按位运算各个二进制位之间是互不影响的，所以我们可以一位一位的做这类题。 那么我们的式子又可以进一步转化为： Minimum  sigma_{(u, v)∈E} { sigma_i=0~oo(2^i) • sigma(mark(u, i) xor mark(v, i)) } 这样我们就把mark的限制加强了：只可能是0或1。即这些点将分成两类。 再观察我们发现，xor运算，只有当u、v不同时结果才为1，即这样的有效边的两端点一定属于不同点集。这像什么？不就是割边嘛！~而题目正好又是要求最小，这样问题便转化为最小割了~    （要注意培养这种问题转化和模型发现的能力！） 那么具体的最小割网络G_N模型：建一个源点，向每一个标号为1的点连一条oo流量的边（后面解释为什么源点连标号1的点）；建一个汇点，向每一个标号为0的点连一条oo流量的边；原图中的边容量设为1加入到G_N中。求出来的最小割便是该二进制位下的标号xor的和最小的情况。 然而题目还要求输出所有点的标号，并且需要标号的和也最小。那么怎么保证标号的和最小呢？无非就是尽可能的取0。那么又该怎么做？ 首先先看怎么给那些未标号的点标号：容易想到最小割把网络分成了两个点集，那么显然每个点标号应该和它所在点集已标号的点一致，所以当然希望标号为0的点集点更多一些。然后注意我们划分点集是从源点开始dfs，那么这样划出来的最小割边集显然更偏向源点，即这样划分出来的S集点是最少的。于是源点当然连标号为1的点呐~ 【代码】  

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define MID(x,y) ((x+y)/2)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int MAXV = 505;
const int MAXE = 10005;
const int oo = 0x3fffffff;/* Dinic-2.0-2013.07.21: adds template.  double & int 转换方便多了，也不易出错 ~*/
template 
struct Dinic{struct node{int u, v;T flow;int opp;int next;}arc[2*MAXE];int vn, en, head[MAXV];int cur[MAXV];int q[MAXV];int path[2*MAXE], top;int dep[MAXV];void init(int n){vn = n;en = 0;mem(head, -1);}void insert_flow(int u, int v, T flow){arc[en].u = u;arc[en].v = v;arc[en].flow = flow;arc[en].next = head[u];head[u] = en ++;arc[en].u = v;arc[en].v = u;arc[en].flow = 0;arc[en].next = head[v];head[v] = en ++;}bool bfs(int s, int t){mem(dep, -1);int lq = 0, rq = 1;dep[s] = 0;q[lq] = s;while(lq < rq){int u = q[lq ++];if (u == t){return true;}for (int i = head[u]; i != -1; i = arc[i].next){int v = arc[i].v;if (dep[v] == -1 && arc[i].flow > 0){dep[v] = dep[u] + 1;q[rq ++] = v;}}}return false;}T solve(int s, int t){T maxflow = 0;while(bfs(s, t)){int i, j;for (i = 1; i <= vn; i ++)  cur[i] = head[i];for (i = s, top = 0;;){if (i == t){int mink;T minflow = 0x3fffffff;for (int k = 0; k < top; k ++)if (minflow > arc[path[k]].flow){minflow = arc[path[k]].flow;mink = k;}for (int k = 0; k < top; k ++)arc[path[k]].flow -= minflow, arc[path[k]^1].flow += minflow;maxflow += minflow;top = mink;i = arc[path[top]].u;}for (j = cur[i]; j != -1; cur[i] = j = arc[j].next){int v = arc[j].v;if (arc[j].flow && dep[v] == dep[i] + 1)break;}if (j != -1){path[top ++] = j;i = arc[j].v;}else{if (top == 0)   break;dep[i] = -1;i = arc[path[-- top]].u;}}}return maxflow;}
};
Dinic  dinic;
int mark[MAXV];
bool if_mark[MAXV];
struct path{int u, v;
}p[MAXE];
bool vis[MAXV];
int st[MAXV];   //ST集
void dfs(int u){vis[u] = 1;st[u] = 1;for (int i = dinic.head[u]; i != -1; i = dinic.arc[i].next){if (dinic.arc[i].flow <= 0) continue;int v = dinic.arc[i].v;if (!vis[v]){dfs(v);}}return ;
}
int main(){int t;scanf("%d", &t);while(t --){int n, m;scanf("%d %d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i ++){scanf("%d %d", &p[i].u, &p[i].v);}int k;mem(mark, 0);mem(if_mark, false);scanf("%d", &k);int maxn = 0;for (int i = 0; i < k; i ++){int u;scanf("%d", &u);scanf("%d", &mark[u]);maxn = max(maxn, mark[u]);if_mark[u] = true;}int oi = ceil(log(maxn)/log(2));for (int k = 0; k < oi; k ++){dinic.init(n+2);for (int i = 1; i <= n; i ++){if (!if_mark[i])continue;if ((mark[i] & (1 << k))){dinic.insert_flow(n+1, i, oo);}else{dinic.insert_flow(i, n+2, oo);}}for (int i = 1; i <= m; i ++){dinic.insert_flow(p[i].u, p[i].v, 1);dinic.insert_flow(p[i].v, p[i].u, 1);}dinic.solve(n+1, n+2);mem(st, 0);mem(vis, 0);dfs(n+1);       //残留网络中dfs确定点S、T集for (int i = 1; i <= n; i ++){if (st[i] == 1 && !if_mark[i]){mark[i] += (1 << k);}}}for (int i = 1; i <= n; i ++){printf("%d\n", mark[i]);}}return 0;
}