代码随想录算法训练营第四十一天 | 343. 整数拆分,96.不同的二叉搜索树

代码随想录算法训练营第四十一天 | 343. 整数拆分,96.不同的二叉搜索树

  • 343. 整数拆分
    • 动态规划
    • 贪心
  • 96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

题目链接
视频讲解
给定一个正整数 n ,将其拆分为 k 个 正整数 的和( k >= 2 ),并使这些整数的乘积最大化,返回 你可以获得的最大乘积

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

动态规划

动规五部曲,分析如下:
确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]
dp[i]的定义将贯彻整个解题过程,下面哪一步想不懂了,就想想dp[i]究竟表示的是啥!
确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢?
其实可以从1遍历j,然后有两种渠道得到dp[i]
一个是j * (i - j) 直接相乘
一个是j * dp[i - j],相当于是拆分(i - j),对这个拆分不理解的话,可以回想dp数组的定义
那有人问了,j怎么就不拆分呢?
j是从1开始遍历,拆分j的情况,在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j,比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解,j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘,而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了
所以递推公式:dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候,为什么还要比较dp[i]呢?
因为在递推公式推导的过程中,每次计算dp[i],取最大的而已。
dp的初始化
不少同学应该疑惑,dp[0] dp[1]应该初始化多少呢?
有的题解里会给出dp[0] = 1,dp[1] = 1的初始化,但解释比较牵强,主要还是因为这么初始化可以把题目过了
严格从dp[i]的定义来说,dp[0] dp[1] 就不应该初始化,也就是没有意义的数值
拆分0和拆分1的最大乘积是多少?
这是无解的
这里只初始化dp[2] = 1,从dp[i]的定义来说,拆分数字2,得到的最大乘积是1,这个没有任何异议!
确定遍历顺序
确定遍历顺序,先来看看递归公式:dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态,所以遍历i一定是从前向后遍历,先有dp[i - j]再有dp[i]
所以遍历顺序为:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j < i - 1; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}

注意 枚举j的时候,是从1开始的,从0开始的话,那么让拆分一个数拆个0,求最大乘积就没有意义了,j的结束条件是 j < i - 1 ,其实 j < i 也是可以的,不过可以节省一步,例如让j = i - 1,的话,其实在 j = 1的时候,这一步就已经拆出来了,重复计算,所以 j < i - 1,至于 i是从3开始,这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来
更优化一步,可以这样:

for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的
例如 6 拆成 3 * 3, 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的
只不过我们不知道m究竟是多少而已,但可以明确的是m一定大于等于2,既然m大于等于2,也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值
那么 j 遍历,只需要遍历到 n/2 就可以,后面就没有必要遍历了,一定不是最大值
至于 “拆分一个数n 使之乘积最大,那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了,感兴趣的同学,可以自己证明
举例推导dp数组
举例当n为10 的时候,dp数组里的数值,如下:
在这里插入图片描述

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}}return dp[n];}
};

贪心

本题也可以用贪心,每次拆成n个3,如果剩下是4,则保留4,然后相乘,但是这个结论需要数学证明其合理性

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {if (n == 2) return 1;if (n == 3) return 2;if (n == 4) return 4;int result = 1;while (n > 4) {result *= 3;n -= 3;}result *= n;return result;}
};

96.不同的二叉搜索树

题目链接
视频讲解
给你一个整数 n ,求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种?返回满足题意的二叉搜索树的种数
在这里插入图片描述

输入:n = 3
输出:5

关于什么是二叉搜索树,我们之前在讲解二叉树专题的时候已经详细讲解过了,也可以看看这篇二叉树:二叉搜索树登场!再回顾一波,了解了二叉搜索树之后,我们应该先举几个例子,画画图,看看有没有什么规律,如图:
在这里插入图片描述
n为1的时候有一棵树,n为2有两棵树,这个是很直观的
在这里插入图片描述
来看看n为3的时候,有哪几种情况
当1为头结点的时候,其右子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊!
(可能有同学问了,这布局不一样啊,节点数值都不一样,别忘了我们就是求不同树的数量,并不用把搜索树都列出来,所以不用关心其具体数值的差异)
当3为头结点的时候,其左子树有两个节点,看这两个节点的布局,是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊!
当2为头结点的时候,其左右子树都只有一个节点,布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊!
发现到这里,其实我们就找到了重叠子问题了,其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式
dp[3],就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]
如图所示:
在这里插入图片描述
此时我们已经找到递推关系了,那么可以用动规五部曲再系统分析一遍
确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] : 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ,都是一样的
以下分析如果想不清楚,就来回想一下dp[i]的定义
确定递推公式
在上面的分析中,其实已经看出其递推关系, dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
dp数组如何初始化
初始化,只需要初始化dp[0]就可以了,推导的基础,都是dp[0]
那么dp[0]应该是多少呢?
从定义上来讲,空节点也是一棵二叉树,也是一棵二叉搜索树,这是可以说得通的
从递归公式上来讲,dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0,也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1, 否则乘法的结果就都变成0了
所以初始化dp[0] = 1
确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数,从递归公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出,节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态,用j来遍历
代码如下:

for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}
}

举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图:
在这里插入图片描述

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
};

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/46070.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Java源码分析(一)Integer

当你掌握Java语言到了一定的阶段&#xff0c;或者说已经对Java的常用类和API都使用的行云流水。你会不会有一些思考&#xff1f;比如&#xff0c;这个类是如何设计的&#xff1f;这个方法是怎么实现的&#xff1f;接下来的一系列文章&#xff0c;我们一起学习下Java的一些常见类…

香港服务器备案会通过吗?

​  对于企业或个人来说&#xff0c;合规备案是网络运营的基本要求&#xff0c;也是保护自身权益的重要举措。以下内容围绕备案展开话题&#xff0c;希望为您解开疑惑。 香港服务器备案会通过吗? 目前&#xff0c;香港服务器无法备案&#xff0c;这是由于国内管理规定的限制…

人工智能引领图文扫描新趋势

1. 背景和影响 近日&#xff0c;中国大学生服务外包创新创业大赛决赛在江南大学圆满落幕。为满足现代服务产业企业的现实需求&#xff0c;本次竞赛内容设计充分聚焦企业发展中所面临的技术、管理等现实问题&#xff0c;与产业的结合度更紧密&#xff0c;智能文字识别技术是大赛…

Unity VR:XR Interaction Toolkit 输入系统(Input System):获取手柄的输入

文章目录 &#x1f4d5;教程说明&#x1f4d5;Input System 和 XR Input Subsystem&#xff08;推荐 Input System&#xff09;&#x1f4d5;Input Action Asset⭐Actions Maps⭐Actions⭐Action Properties&#x1f50d;Action Type (Value, Button, Pass through) ⭐Binding …

前端框架Vue

Vue 学习路线 学习HTML、CSS和JavaScript基础知识&#xff1a;Vue是基于JavaScript的框架&#xff0c;所以首先需要掌握HTML、CSS和JavaScript的基础知识&#xff0c;包括DOM操作、事件处理、变量和函数等。 学习Vue的基本概念&#xff1a;了解Vue的核心概念&#xff0c;如Vu…

Win10+anaconda+CUDA+pytorch+vscode配置

Win10anacondaCUDApytorchvscode配置 1.安装anaconda2.安装CUDA确认CUDA版本确认CUDA和pytorch版本安装CUDA 3.安装cudnn4.安装Pytorch5.vscode配置安装VScodevscode配置pytorch环境 1.安装anaconda 官网https://www.anaconda.com 下载安装&#xff0c;路径全英文然后记得有一…

【RabbitMQ】消息队列-RabbitMQ篇章

文章目录 1、RabbitMQ是什么1.1、RabbitMQ---使用场景一般场景解耦削峰异步 2、Dokcer安装RabbitMQ2.1安装Dokcer2.2安装rabbitmq 3、RabbitMQ入门案例 - Simple 简单模式4、RabbitMQ的核心组成部分4.1 RabbitMQ整体架构4.2RabbitMQ的运行流程 5、RabbitMQ的模式5.1 发布订阅模…

大数据-玩转数据-Flink App市场推广统计

一、说明 电商网站中已经有越来越多的用户来自移动端&#xff0c;相比起传统浏览器的登录方式&#xff0c;手机APP成为了更多用户访问电商网站的首选。对于电商企业来说&#xff0c;一般会通过各种不同的渠道对自己的APP进行市场推广&#xff0c;而这些渠道的统计数据&#xf…

iOS自定义下拉刷新控件

自定义下拉刷新控件 概述 用了很多的别人的下拉刷新控件&#xff0c;想写一个玩玩&#xff0c;自定义一个在使用的时候也会比较有意思。使应用更加的灵动一些&#xff0c;毕竟谁不喜欢各种动画恰到好处的应用呢。 使用方式如下&#xff1a; tableview.refreshControl XRef…

小程序多图片组合

目录 子组件 index.js 子组件 index.wxml 子组件 index.wxss 父组件引用&#xff1a; 子组件&#xff1a;preview-image 子组件 index.js Component({properties: {previewData: {type: Array,default: [],observer: function (newVal, oldVal) {console.log(newVal, ol…

回归预测 | MATLAB实现GWO-SVM灰狼优化算法优化支持向量机多输入单输出回归预测(多指标,多图)

回归预测 | MATLAB实现GWO-SVM灰狼优化算法优化支持向量机多输入单输出回归预测&#xff08;多指标&#xff0c;多图&#xff09; 目录 回归预测 | MATLAB实现GWO-SVM灰狼优化算法优化支持向量机多输入单输出回归预测&#xff08;多指标&#xff0c;多图&#xff09;效果一览基…

图论基础和表示(Java 实例代码)

目录 图论基础和表示 一、概念及其介绍 二、适用说明 三、图的表达形式 Java 实例代码 src/runoob/graph/DenseGraph.java 文件代码&#xff1a; src/runoob/graph/SparseGraph.java 文件代码&#xff1a; 图论基础和表示 一、概念及其介绍 图论(Graph Theory)是离散数…

MySQL基础篇(二)

DML 定义&#xff1a;Data Manipulation Language、数据操作语言&#xff08;增删改&#xff09; 添加数据&#xff08;INSERT&#xff09;修改数据&#xff08;UPDATE&#xff09;删除数据&#xff08;DELETE&#xff09; 添加数据&#xff08;INSERT&#xff09; 给指定的…

Nginx:网站服务

nginx&#xff1a;一个高性能、轻量级的web服务软件 1、稳定性高&#xff08;没有apache稳&#xff09; 2、系统资源消耗低&#xff08;处理http请求的并发能力很高&#xff0c;单台物理服务器可以处理3万到5万个并发请求&#xff09; 稳定&#xff1a;一般在企业中&#xff…

系统架构设计专业技能 · 信息安全技术

系列文章目录 系统架构设计专业技能 网络技术&#xff08;三&#xff09; 系统架构设计专业技能 系统安全分析与设计&#xff08;四&#xff09;【系统架构设计师】 系统架构设计高级技能 软件架构设计&#xff08;一&#xff09;【系统架构设计师】 系统架构设计高级技能 …

<数据结构与算法>堆的应用二叉树的链式实现

目录 前言 一、堆的应用 1. 堆排序 1.1 排升序&#xff0c;建大堆 1.2 时间复杂度计算 2. Top k问题 二、 二叉树的链式实现 1. 二叉树的遍历 2. 二叉树基础OJ 2.2 100. 相同的树 总结 前言 学习完堆的数据结构&#xff0c;我们要清楚&#xff0c;它虽然实现了排序功能&am…

售后服务管理软件怎么选择?售后服务管理系统有什么用?

随着企业信息化发展&#xff0c;越来越多的企业纷纷选择售后服务管理软件来服务客户和进行内部人员管理。借助这款软件&#xff0c;企业能够高效地满足客户提出的需求&#xff0c;并提高客户对售后服务的满意度。售后服务通常涉及客户、客服、维修师傅和服务管理人员等各种角色…

用C++/JS/Python/Java代码描述秋天的味道

前言 秋天是一个充满诗意和浪漫的季节&#xff0c;它带来了清新、芬芳和美食的味道。让我们一起探索如何用编程语言来写出秋天味道的代码吧&#xff01;无论是C、JavaScript、Python还是Java&#xff0c;以下是几个简单的步骤来帮助你创造出充满秋天味道的代码&#xff1a; …

Redis缓存问题(穿透, 击穿, 雪崩, 污染, 一致性)

目录 1.什么是Redis缓存问题&#xff1f; 2.缓存穿透 3.缓存击穿 4.缓存雪崩 5.缓存污染&#xff08;或满了&#xff09; 5.1 最大缓存设置多大 5.2 缓存淘汰策略 6.数据库和缓存一致性 6.1 4种相关模式 6.2 方案&#xff1a;队列重试机制 6.3 方案&#xff1a;异步更新缓…

[C++11]

文章目录 1. 自动类型推导1.1 auto1.1.1 推导规则1.1.2 auto的限制1.1.3 auto的应用1.1.4 范围for 1.2 decltype1.2.1 推导规则1.2.2 decltype的应用 1.3 返回类型后置 2.可调用对象包装器、绑定器2.1 可调用对象包装器2.1.1 基本用法2.1.2 作为回调函数使用 2.2 绑定器 3. usi…