算法导论笔记：25所有节点对的最短路径问题

本章考虑在给定的有向加权图G=(V, E)，对于所有的节点u,v∈V，找到一条从节点u到节点v的最短路径。希望以表格的形式表示输出：第u行第v列给出的是节点u到节点v的最短路径权重。

对于这个问题，如果是运行|V|次单源最短路径算法来解决所有节点对的最短路径问题，每一次使用一个不同的节点做为源节点。如果所有边的权值是非负的，可以采用Dijkstra算法。如果采用数组来实现最小优先队列，算法的运行时间为O()=O()。使用二叉堆实现的最小优先队列将使算法的运行时间降低到O(VE lg V)，这个时间在稀疏图的情况下有很大改进，因为稀疏图E <。如果采用斐波那契堆来实现最小优先队列，其算法运行时间为O()。

如果图中有权重为负值的边，就必须采用效率更低的Bellman-Ford算法，这样的运行时间将使O()，在稠密图的情况下，该运行时间为O()。

本章研究的算法将能做到更好，同时，本章还讨论所有节点对最短路径问题与矩阵乘法之间的关系。

本章的多数算法采用邻接矩阵表示图，假定节点的编号为1,2,...,|V|，因此，算法的输入是n*n的矩阵W，该矩阵代表一个有n个节点的有向图的边的权重：

算法的输出也是一个n*n的矩阵D = ()。其中 = δ(i, j)。

为了解决所有顶点间最短路径问题，不仅要算出最短路径的权值，而且要计算出一个前驱节点矩阵，其中在i=j或从i到j没有通路时为NIL，其他情况下表示从i到j的某条最短路径上j的前驱顶点。由矩阵的第i行导出的子图应是根节点为i的一棵最短路径树。下面的算法将打印出从节点i到节点j的一条最短路径，该算法类似于22章的PRINT-PATH过程：

PRINT-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATH(, i, j)

if i == j

print i

else if == NIL

print “no path from i to j exists”

else PRINT-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATH(, i, )

print j

本章使用大写字母表示矩阵，如W, L或D，使用带下标的小写字母表示矩阵中的个体元素，如、或。

一：最短路径和矩阵乘法

本节讨论一种动态规划算法，动态规划算法的步骤是：分析最优解的结构，递归定义最优解的值，自底向上计算最优解的值。

之前讨论单源最短路径问题时，已经证明一条最短路径的所有子路径都是最短路径。考虑从i到j的一条最短路径p，假定p最多包含m条边，假定没有权值为负值的环路，且m为有限值。如果i=j，则p的权重为0且不包含任何边。如果i和j不同，则将p分解为，其中路径p’最多包含m-1条边，所以δ(i, j) =δ(i, k)+。

设为从i到j的最多包含m条边的任意路径中的最小权重。当m=0时，从i到j之间存在一条没有边的最短路径当且仅当i=j。所以：

对于m>0，有 =。

如果i到j之间最短路径，则该路径为简单路径，其中包含的边最多为n-1，所以有：

对于所有的节点i和j，有 = ()，所以， = W。下面的算法假定已经知道了W和的情况下，给出如何计算，其中，L表示， L’表示，该算法的时间复杂度为O()：

现在可以看到上面的算法与矩阵乘法的关系了。假定希望计算矩阵乘积C = A*B，对于i，j=1,2，...,n，有 = 。如果在 = 做出下面的替换：

就可以得到 = 。因此，如果对算法EXTEND-SHORTEST-PATHS做出上面的替换，就可以得到标准的矩阵乘法的算法。

如前所述，矩阵包含的是最短路径权重，所以，下面的算法可以在O()时间内，计算出该矩阵阵列：

我们的目标并不是要计算所有的矩阵，我们感兴趣的仅仅是矩阵。因为有：正如传统的矩阵乘法是相关的，所以由EXTEND-SHORTEST-PATHS过程所定义的算法也是相关的。所以可以采用重复平方的技术计算该矩阵序列，该算法的时间复杂度可以减少为O()；

二：Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法采用不同的动态规划公式解决所有节点对的最短路径问题，它的运行时间是O()，该算法同样假设：可以存在负权重的边，但不能存在权重为负值的环路。

Floyd-Warshall算法考虑一条最短路径上的中间节点，这里简单路径p=<>上的中间节点指的是路径p上除和之外的任意结点。

假定图G的所有节点V={1，2，...,n}，考虑其中的子集{1，2，...,k}。对于任意的结点i，j∈V，考虑从i到j的所有中间节点均取自集合{1，2，...,k}的路径。并设p为其中的最短路径，分两种情况讨论：

a：如果结点k不是p上的中间节点，则路径p上的所有中间节点都属于集合{1，2，...,k-1}。因此，从i到j的中间节点均取自集合{1，2，...,k}的一条最短路径，同样也是从i到j的中间节点均取自集合{1，2，...,k-1}的一条最短路径。

b：如果结点k是路径p上的中间节点，则p可以分解为，所以，p1上的所有中间节点都属于集合{1，2，...,k-1}，同理p2也是。

根据上面的观察，设为从i到j的所有中间节点全部取自集合{1，2，...,k}的一条最短路径的权重。当k=0时，i到j的路径没有中间节点，这样的路径最多只有一条边，所以有 = 。根据上面的讨论，可以有：

因为对于所有的路径，所有的中间节点都属于集合{1,2,...,n}，矩阵=给出的就是最终的矩阵： =δ(i, j)。算法如下，该算法的运行时间为O()：

另外，可以在计算的同时计算前驱矩阵，具体来说，需要计算一个矩阵序列：，这里 =，并且定义为从i到j的一条所有中间节点都取自集合{1,2,...,k}的最短路径上，j的前驱结点。

所以，可以给出的一个递归公式，当k=0时，从i到j的一条最短路径上没有中间节点，所以：

如果k>1，则有：

，这样，就可以在计算的同时，计算前驱矩阵了，下面是一个运算过程：

给定有向图G=(V, E)，结点集合V={1，2，..., n}，希望判断对于所有的i和j，图G中是否包含一条从节点i到j的路径，这称为图G的传递闭包问题。

一种计算图G的传递闭包的办法是给E中的每条边赋予权重1，然后运行Floyd-Warshall算法，如果存在一条从i到j的路径，则有< n；否则，。这种算法的时间复杂度为O()。

可以有另外一种算法，该算法使用逻辑或操作和逻辑与操作替换Floyd-Warshall算法中的算术操作min和+。对于i,j,k=1,2,...,n，定义：如果图G中存在一条从节点i到结点j的所有中间节点都取自集合{1,2,...,k}的路径，则 = 1，否则， = 0。所以，当k=0时，有：

，对于k>=1，有:

= ，所以算法如下：

该算法从结构上类似于Floyd-Warshall算法，运行时间为O()，但是逻辑运算通常要比算术运算要快，而且TRANSITIVE-CLOSURE所需要的空间更少。

三：用于稀疏图的johnson算法

johnson算法可以在O()时间内找到所有节点对之间的最短路径。对于稀疏图来说，算法在渐近意义上要好于矩阵的重复平方法或Floyd-Warshall算法。算法要么返回一个包含所有节点对的最短路径权重的矩阵，要么报告输人图中存在一个负权值的回路。算法需要使用Dijkstra算法和Bellman-Ford算法作为其子程序。

Johnson算法使用的技术称为重新赋予权重。如果图G=(V, E)中所有的边权重w皆为非负值，则可以采用对每个节点运行Dijkstra算法找到所有节点对的最短路径，如果该图包含权重为负值的边，但没有权重为负值的环路，则只要计算出一组新的非负权重值，然后使用同样的方法即可。新赋予的权重w’必须满足下面的性质：

a：多于所有顶点对u、v∈V，一条路径p是利用加权函数w时从u到v的一条最短路径，当且仅当p也是利用加权函数w’时从u到v的一条最短路径。

b：对于所有的边(u, v)，新的权重w’(u, v)是非负值。

给定带权重的有向图G=(V, E)，其权重函数为w，设h: v->R为任意函数，该函数将节点映射到实数上。对于每条边(u,v)，定义w’(u,v)= w(u, v) + h(u) – h(v)。设p = <>为从节点到节点的任意一条路径，那么p是在使用权重函数w时从节点到节点的一条最短路径，当且仅当p是在使用权重函数w’时从节点到节点的一条最短路径。即w(p) = δ()当且仅当w’(p) =δ'()。而且，图G在使用权重函数w时不包含负值环路，当且仅当G在使用权重函数w’时不包含负值环路。

下一个目标是确保第二个属性成立，也就是所有边(u, v)，w’(u,v)>=0。如果给定图G=(V, E)，制作一幅新图G’ = (V’, E’)。其中V’ = V∪{s}，s是一个新节点。E’ = E∪ {(s,v): v∈V}，并且，对于所有节点v∈V, w(s, v) = 0。所以G’不包含权重为负值的环路当且仅当图G不包含权重为负值的环路。现在定义函数h，对于所有节点v∈V’，h(v) =(s)。所以w’(u, v) = w(u, v)+ h(u) – h(v)。根据三角不等式定理，可以得到w’(u, v)>=0。