算法时间复杂度的计算 [整理]

时间复杂度算法 

基本的计算步骤

 

时间复杂度的定义

    一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。

 

根据定义，可以归纳出基本的计算步骤

1. 计算出基本操作的执行次数T(n)

    基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

 

2. 计算出T(n)的数量级

    求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：

    忽略常量、低次幂和最高次幂的系数

 

    令f(n)=T(n)的数量级。

 

3. 用大O来表示时间复杂度

    当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

 

一个示例：

(1) int num1, num2;

(2) for(int i=0; i<n; i++){

(3)     num1 += 1;

(4)     for(int j=1;j<=n; j*=2){

(5)        num2 += num1;

(6)     }

(7) }

 

分析：

1.

语句int num1, num2;的频度为1；

语句i=0;的频度为1；

语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；

语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；

T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

 

2.

忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数

f(n) = n*log2n

 

3.

lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) /(n*log2n)

                    = 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

 

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0

所以极限等于3。

 

T(n) = O(n*log2n)

 

简化的计算步骤

 

再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

 

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？

 

于是，以上步骤可以简化为：

1. 找到执行次数最多的语句

2. 计算语句执行次数的数量级

3. 用大O来表示结果

 

继续以上述算法为例，进行分析：

1.

执行次数最多的语句为num2 += num1

 

2.

T(n) = n*log2n

f(n) = n*log2n

 

3.

// lim(T(n)/f(n)) = 1

T(n) = O(n*log2n)

 

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一些补充说明

最坏时间复杂度

    算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

 

求数量级

即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。

 

求极限的技巧

要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0

 

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一些规则(引自：时间复杂度计算 )

1) 加法规则

T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n),g(m) )

 

2) 乘法规则

T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

 

3) 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）

在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有

T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O(f(n) )

 

也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。

 

4) 一个经验规则

复杂度与时间效率的关系：

c < log2n < n < n*log2n < n2< n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）

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         较好                    一般             较差

其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

 

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复杂情况的分析

 

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。

 

1.并列循环的复杂度分析

将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

 

例如：

 

　　for (i=1; i<=n; i++)

　　    x++;

 

　　for (i=1; i<=n; i++)

　　    for (j=1; j<=n; j++)

　　        x++;

 

解：

第一个for循环

T(n) = n

f(n) = n

时间复杂度为Ο(n)

 

第二个for循环

T(n) = n2

f(n) = n2

时间复杂度为Ο(n2)

 

整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

 

2.函数调用的复杂度分析

例如：

public void printsum(int count){

    int sum = 1;

    for(int i= 0; i<n;i++){

       sum +=i;

    }   

    System.out.print(sum);

}

 

分析：

记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。

所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

 

*这里其实可以运用公式 num =n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：

public void printsum(int count){

    int sum = 1;

    sum = count *(count+1)/2;   

    System.out.print(sum);

}

这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。

 

3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析

例如：

public void suixiangMethod(int n){

    printsum(n);//1.1

    for(int i= 0; i<n;i++){

      printsum(n); //1.2

    }

    for(int i= 0; i<n;i++){

      for(int k=0; k

       System.out.print(i,k); //1.3

      }

  }

suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。

也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)

 

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更多的例子

 

O(1)

交换i和j的内容

temp=i;

i=j;

j=temp;                   

 

以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

 

O(n2)

    sum=0；               /* 执行次数1 */

   for(i=1;i<=n;i++)      

      for(j=1;j<=n;j++)

        sum++；       /* 执行次数n2 */

解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)

 

   for (i=1;i<n;i++)

   {

      y=y+1;        ①   

       for(j=0;j<=(2*n);j++)    

         x++;        ②     

  }         

解：  语句1的频度是n-1

        语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1

        T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2

        f(n) = n2

        lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2

        T(n) = O(n2).

 

O(n)                                       

   a=0;

  b=1;                    ①

   for (i=1;i<=n;i++) ②

   {  

      s=a+b;　　　　③

      b=a;　　　　　④  

      a=s;　　　　　⑤

   }

解：  语句1的频度：2,        

        语句2的频度：n,        

        语句3的频度：n,        

        语句4的频度：n,    

        语句5的频度：n,                                 

        T(n) = 2+4n

        f(n) = n

        lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4

        T(n) = O(n).     

                                                                           

O(log2n)

  i=1;       ①

   while (i<=n)

      i=i*2; ②

解：语句1的频度是1, 

       设语句2的频度是t,  则：nt<=n; t<=log2n

       考虑最坏情况，取最大值t=log2n,

       T(n) = 1 + log2n

       f(n) = log2n

       lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1

       T(n) = O(log2n)

 

 O(n3)

   for(i=0;i<n;i++)

   { 

     for(j=0;j<i;j++) 

      {

        for(k=0;k<j;k++)

           x=x+2; 

      }

   }

解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次

T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2

f(n) = n3

所以时间复杂度为O(n3)。