数据结构进阶篇-跳表

大家想必都知道，数组和链表的搜索操作的时间复杂度都是O(N)的，在数据量大的时候是非常耗时的。对于数组来说，我们可以先排序，然后使用二分搜索，就能够将时间复杂度降低到O(logN)，但是有序数组的插入是一个O(N)级别的操作。而链表的插入性能相对优秀，却不能使用二分搜索快速查询。那么是否有一种数据结构，即能够像链表一样快速插入数据，又支持类似于二分搜索这样的查询算法呢？答案是肯定的。William Pugh教授在1990发表的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》中提出的跳表就是这样一种有趣的数据结构。

跳表的结构

跳表的核心思想是通过建立索引层来缩短链表的搜索路径，以达到快速搜索的目的。
假设我们从链表中的每两个节点中提取出一个建立一级索引，然后再从每两个一级索引中提取一个建立二级索引，以此类推，就可以得到如下图所示的结构，其中绿色节点表示索引。

在William Pugh的论文中使用了数组加链表的组合来实现跳表，就如上图所示，每一列索引具有相同的key，使用一个数组来表示。还可以使用纯链表的形式来实现跳表，我觉得这种方式更有助于理解跳表的原理，如下图所示。

跳表的搜索

跳表的搜索需要从高层索引开始向下逐层搜索，每一层的搜索方式和普通链表是一样的，当后继节点的关键字大于搜索关键字时结束本层的搜索，进入下一层继续搜索。下图展示了跳表搜索关键字 22 的过程，其中红色部分就是搜索的路径。

从上图可以很直观的看出，跳表的搜索和二分搜索是一样的，其时间复杂度也是O(logN)的，我们不妨简单证明一下。
假设跳表中有N个数据节点（关键字），每m个低级索引（或数据节点）中提取出一个作为高级索引，那么
一级索引的数量 $L_1 = \frac{N}{m}$
二级索引的数量 $L_2 = \frac{N}{m^2}$
三级索引的数量 $L_3 = \frac{N}{m^3}$
以此类推，第i级索引的数量 $L_i = \frac{N}{m^i}$
最高级索引的数量 $L_{max} = m = \frac{N}{m^{max}}$
所以索引的最大层级 $MaxLevel = \log_m{N} - 1$
每一层的搜索次数 $M \leq m$
所以跳表的搜索次数 $\Theta \leq M \cdot MaxLevel = m \cdot (\log_m{N} - 1)$
因为m是一个常量，因此跳表的搜索时间复杂度是O(logN)的

跳表的多层索引结构使它的搜索方式非常灵活且强大
比如我们可能有这样的需求，如果key不存在，我们需要知道这个key邻近的nearKey是什么，这用跳表很容易实现

搜索比key小且最接近key的关键字lowerKey，如上图所示，后继节点大于等于key时，直接返回当前节点即可
搜索比key大且最接近key的关键字higherKey，如上图所示，后继节点大于key时，直接返回后继节点即可

跳表还可以很容易的搜索一个关键字区间[fromKey, toKey]，这点和B+树很类似，先搜索fromKey，然后向后遍历链表，取出所有小于等于toKey的数据即可

跳表的插入

到现在为止，本文描述的都是理想状态下的跳表，事实上，我们不会严格的为跳表的每m个低级索引建立高级索引，因为这样做复杂而且低效。所以William Pugh在他的论文中采用一种随机算法来为每个新增的节点随机建立索引，下面是我用Java实现的版本。

int randomLevel(int m, int maxLevel) {ThreadLocalRandom r = ThreadLocalRandom.current();int level = 1;while (r.nextInt(m) == 0 && level <  maxLevel)level++;return level;
}
复制代码

通过这种随机算法，生成第i级索引的概率为 $\frac{1}{m^i}$
所以能够保证每一层索引的数量都接近于 $\frac{N}{m^i}$ ，这正好符合我们前面提到的索引层的性质。
Doug Lea大佬在Java的ConcurrentSkipListMap中使用了另外一种更加炫酷的随机算法的实现方式，使用随机数末尾连续为1的位数作为索引的等级，显然这种方式生成第i级索引的概率为 $\frac{1}{2^i}$ ，代码如下所示。

int rn = ThreadLocalRandom.current().nextInt();
// 只有最高位和最低位都为0时，才建立索引，相当于为4个node建立一个索引
if ((rn & 0x80000001) == 0) {int level = 1;// 建立索引的等级等于rn末尾连续为1的位数while (((rn >>>= 1) & 1) != 0)level++;
}
复制代码

通过随机函数生成一个随机的索引等级之后，创建一个新的索引列，并将每一层的新索引链接到它的前驱索引的后面，如果生成的随机等级大于当前跳表的最大索引等级，需要添加一层新的索引。如下图所示，其中红色虚线箭头表示重新建立的链接。

跳表的删除

跳表的删除操作比较简单，先查询删除的关键字，如果在索引层匹配到了关键字，就向下删除所有的索引和数据节点，如果没有匹配到索引，只需要删除数据节点即可。其中有一点需要注意的是，在删除索引后需要检测一下，如果当前层的HEAD索引的后继索引为NIL，则表示这一层已经没有索引了，需要删除这个索引层。如下图所示，红色箭头表示重新建立的链接。

跳表的实现

跳表的实现相对AVL树、红黑树等平衡二叉树来说简单了很多，William Pugh的论文《Skip Lists: A Probabilistic Alternative to Balanced Trees》中提供了使用数组加链表实现跳表的伪代码，我写了一个Java版本的纯链表实现的跳表，并上传到了我的GitHub上，有兴趣的朋友可以看一下。如果你需要在开发中使用跳表的话，java.util.concurrent.ConcurrentSkipListMap是一个强大的实现，而且它还是线程安全的。

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