前言

本文以一道常见的算法面试题开篇，引入动态规划的基础概念， 介绍其思考过程。

正文

一、常见的一道算法面试题——上台阶

有一个楼梯总共n个台阶，只能往上走，每次只能上1个、2个台阶，总共有多少种走法。

解决方案：

1、排列组合；

枚举2的个数，再枚举2具体放的位置；

计算复杂，容易遗漏。

2、动态规划；

dp[n] 表示n个台阶的走法，那么有：

dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]；

思路清晰，代码简单。

二、动态规划基础概念

1、动态规划；

动态规划（Dynamic Programming）指的是解最优化问题的一种方法。

2、最优子结构性质；

问题的最优解可以分解为若干子问题，且子问题的解也是最优的；

以上台阶为例，到第i层的最多走法，可以分解为第i-1层和第i-2层的走法之和，且第i-1层和第i-2层的走法也是最多的；

3、 无后效性；

现阶段的决策不会影响未来的决策；

以上台阶为例，走到第i-2层的最多走法，不会因为增加第i-1层而改变；

三、动态规划思考过程

动态规划的思考过程可以总结为：大事化小，小事化了。

大事化小：

一个较大的问题，通过找到与子问题的重叠，把复杂的问题划分为多个小问题，也称为状态转移；

小事化了：

小问题的解决通常是通过初始化，直接计算结果得到；

具体的步骤

1、将大问题分解为子问题

2、确定状态表示

3、确定状态转移

4、考虑初始状态和边界情况

四、另一个经典的例子——数塔

有如图所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

解决思路：

1、大事化小。要到达第i层，先要到达第i-1层。并且第i层的第j个节点，只能由i-1层的第j个和第j-1个节点到达。

我们用dp[i][j]表示，走到第i层第j个位置的数字最大和。

那么有dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + a[i][j];

2、小事化了。第1层的第1个节点，初始值为dp[1][1]=a[1][1]。（a[x][y]表示第x层，第y个的值）

五、数塔例子的变形——收集苹果

平面上有N*M个格子，每个格子中放着一定数量的苹果。

你从左上角的格子开始，每一步只能向下走或是向右走，每次走到一个格子上就把格子里的苹果收集起来。这样下去，你最多能收集到多少个苹果。

解决思路：

1、只能向右走或者向下走，要到达第i行第j列的格子的时候，可以由第i-1行第j列或者第i行第j-1列到达，我们用dp[i][j]表示，走到第i行第j列的最多苹果数，那么有：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + a[i][j];

2、第1行第1列，初始值为dp[1][1]=a[1][1]，注意事项是边界条件的处理。

六、动态规划经典——01背包问题

给定n件物品和一个容量为m的背包，每件物品都会消耗背包的一定容积c[i]，并带来一定价值v[i]，要求如何选取装入背包中的物品，使得背包内的物品价值最大。

解决思路：

把n件物品放入背包，可以分解为“将前i件物品放入容量为m的背包中”问题。

若只考虑第i件物品的选择，那么问题可以分为两种情况：

1、如果不放第i件物品，问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；

2、如果放第i件物品，问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为m-c[i]的背包中”；

我们用f[i][j]表示前i个物品，放入容量为j的背包的最大价值，上面的两种情况可以表示为

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-c[i]]+v[i]);

初始化条件memset(dp, 0, sizeof(dp));和dp[1][c[1]]=v[1]。

最后遍历f[n][1~m]可以得到最大值。

总结

如果还不能完全理解01背包，那么还需要再仔细理解最优子结构、状态表示和状态转移。

算法能扩展思考方向，完善思维能力。学会“上台阶”、“数塔”、“01背包”这三个题目，能解决算法面试的动态规划部分。

参考及引用

程序员算法基础——动态规划