《剑指Offer》62:圆圈中最后剩下的数字(约瑟夫环)

题目

0,1,2…,n-1这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始,每次从这圆圈你删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如,0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈,从数字0开始每次删除第3个数字,则删除的前4个数字依次2、0、4、1,因此最后剩下的数字是3。

本题就是有名的约瑟夫(Josephuse)环问题。

分析

两种解题方法:

  1. 用环形链表模拟圆圈的经典解法
  2. 分析每次被删除的数字的规律并直接计算出圆圈中最后剩下的数字

放码

用环形链表模拟圆圈的经典解法

public int lastRemaining(int n, int m) {if(n < 1 || m < 1) {throw new IllegalArgumentException();}LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();for(int i = 0; i < n; i++) {list.add(i);}int count = 0, index = 0;while(list.size() > 1) {count++;if(count == m) {list.remove(index);count = 0;}else {index++;}if(index == list.size()) {index = 0;}}return list.get(0);
}

分析每次被删除的数字的规律并直接计算出圆圈中最后剩下的数字

首先我们定义一个关于 n 和 m 的方程f(n,m),表示每次在 n 个数字 0,1, … ,n-1中每次删除第 m 个数字最后剩下的数字。

在这 n个数字中,第一个被删除的数字是(m-1)%n。为了简单起见,我们把(m- 1)%n 记为 k,那么删除k之后剩下的 n-1 个数字为 0,1,… ,k-1,k+1,… ,n-1,并且下一次删除从数字 k+1 开始计数。相当于在剩下的序列中, k+1 排在最前面,从而形成 k+1,… ,n- 1,0,1,… ,k-1 。

该序列最后剩下的数字也应该是关于 n 和 m 的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从 0 开始的连续序列),因此该函数不同于前面的函数,记为 f’(n-1,m)。

最初序列最后剩下的数字 f(n, m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字,即 f(n, m)=f'(n-1, m)

接下来我们把剩下的这 n-1 个数字的序列 k-1, …,n-1,0,1,… ,k-1 做一个映射,映射的结果是形成一个从 0 到 n-2 的序列:

last index->index
k+10
k+21
n-1n-k-2
0n-k-1
1n-k
k-1n-2

我们把映射定义为p,则p(x)=(x-k-1)%n if p(x)<0, then p(x)+=n

它表示如果映射前的数字是x,那么映射后的数字是(x-k-1)%n。该映射的逆映射是p⁻¹(x)=(x+k+1)%n

由于映射之后的序列和最初的序列具有同样的形式,即都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1, m)。根据我们的映射规则,映射之前的序列中最后剩下的数字f'(n-1, m)=p⁻¹[f(n-1, m)]=[f(n - 1, m) + k + 1] % n,把k = (m - 1) % n代入得到f(n, m)=f'(n-1, m)=[f(n-1, m) + m] % n

经过上面复杂的分析,我们终于找到了一个递归公式。要得到n个数字的序列中最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列中最后剩下的数字,并以此类推。当n=1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为:

public int lastRemaining2(int n, int m) {if(n < 1 || m < 1) {throw new IllegalArgumentException();}return n == 1 ? 0 : (lastRemaining2(n - 1, m) + m) % n;
}

n=5,m=3的推导过程

针对这个题目,先说说难点:

数字组成是环形的结构,当数到最后个数字时,还不是需要删除的第 m 个数,需要回至数组的首位继续;
每次重新数的位置,都是上次删除数字的下一位。
针对第一个难点,可以考虑取模;

针对第二个难点,可以考虑将删除数字下一位,作为下次重新数的起点,剩余数字依次排列。(注意数字组成是环状的)

考虑先模拟,然后再进行逆推:

(为体现闭环,这里将数组进行复制。注意: 未得到最后 1 位数时,除第 1 轮开始 ,每一轮都是以上一轮删除数字下一位作为起点,重新数需要删除的第 m 个数)

这就是模拟之后得到的结果。

现在我们来进行逆推:

最终确定的 1 个数字,这个数字对应的索引一定是 0,逆推这个最终数字在每一轮中所处的索引位置,那么假设(n 表示数组元素个数,m 表示要删除的第 m 个数,取示例 1,n = 5, m = 3):

  • n = 1 时,索引:0;
  • n = 2 时,索引:(0 + m) % 2 = 3 % 2 = 1;
  • n = 3 时,索引:((0 + m) % 2 + 3) % 3 = (1 + 3) % 3 = 1;
  • n = 4 时,索引:(((0 + m) % 2 + 3) % 3 + m) % 4 = (1 + 3) % 4 = 0;
  • n = 5 时,索引:((((0 + m) % 2 + 3) % 3 + m) % 4 + m) % 5 = (0 + 3) % 5 = 3 。

大致讲下前面的逆推过程,找出剩余元素在前面每一轮所处的位置:

  • 当剩下 1 个数字的时候,这个数字(3)的索引为 0;
  • 往前逆推,当剩下 2 个数字的时候,在上一轮元素索引的基础上,要补上 m 个位置,然后对数组元素个数取模,得到这一轮该元素所在的位置,代入 n,m,可得数字(3)索引为 1;
  • 当剩下 3 个数字时,同样补上 m 个位置,然后对数组元素个数取模(这个时候数组元素个数为 3),代入 m,n,得数字(3)索引为 1;

对上面的逆推过程进行总结:从最后 1 轮往前逆推时,前面一轮的元素所处的位置为,(当前索引 + m) % 前面一轮元素个数

那么根据这个公式,用代码进行实现。

class Solution:def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:ans = 0# 最后 1 位为最终保留数字# 往前逆推,从元素个数为 2 开始for i in range(2, n + 1):# 逆推公式ans = (ans + m) % ireturn ans

测试

import org.junit.Assert;
import org.junit.Test;public class LastRemainingTest {@Testpublic void test() {LastRemaining lr = new LastRemaining();Assert.assertEquals(3, lr.lastRemaining(5, 3));Assert.assertEquals(2, lr.lastRemaining(10, 17));Assert.assertEquals(3, lr.lastRemaining2(5, 3));Assert.assertEquals(2, lr.lastRemaining2(10, 17));}}

参考

  1. LeetCode 面试题62. 圆圈中最后剩下的数字

  2. LaTex数学公式生成

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