轻松理解牛顿迭代法且用其求平方根

牛顿迭代法概述

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

牛顿迭代公式

设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_0$ 作为 $r$ 的初始近似值。

过点 $x_0, f(x_0))$ 做曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L_1$ ， $L_1:y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ，则 $L_1$ 与 $x$ 轴交点的横坐标 $x1=x0−f(x0)f′(x0)x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ ，称 $x_1$ 为 $r$ 的一次近似值。

过点 $x_1, f(x_1))$ 做曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L_2$ ， $L_2:y = f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)$ ，则 $L_2$ 与 $x$ 轴交点的横坐标 $x2=x1−f(x1)f′(x1)x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$ ，称 $x_2$ 为 $r$ 的二次近似值。

重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列，其中， $xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 称为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

举个例子

题目

用牛顿迭代法求出 $2\sqrt{2}$ 的二次正近似值（初始近似值 $x_0=2$ ）。

解答

$x=2⇒x2−2=0x=\sqrt{2}\Rightarrow x^2-2=0$

$f(x)=x^2-2$

$f^{'} (x) = 2 x$

设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的正根， $x_0=2$ 作为 $r$ 的初始近似值。

$f (x)$ 过点 $A(2,f(2))⇒A(2,2)A(2,f(2))\Rightarrow A(2,2)$ 。

过点 $A$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L_1$ ：

$L_1:y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$y=2+2⋅2⋅(x−2)y=2+2\cdot2\cdot(x-2)$

$y = 4 x - 6$

则 $L_1$ 与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_1$ :

$0=4x_1-6$

$x1=32x_1=\frac{3}{2}$

或者直接用牛顿迭代公式:

$x1=x0−f(x0)f′(x0)=2−22−22⋅2=2−12=32x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=2-\frac{2^2-2}{2\cdot2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

$x_1$ 为 $r$ 的一次近似值。

在这里插入图片描述

$f (x)$ 过点 $B(32,f(32))⇒B(32,14)B(\frac{3}{2}, f(\frac{3}{2}))\Rightarrow B(\frac{3}{2},\frac{1}{4})$ 。

过点 $B$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L_2$ ：

$L_2:y = f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)$

$y=14+2⋅32⋅(x−32)y=\frac{1}{4}+2\cdot\frac{3}{2}\cdot(x-\frac{3}{2})$

$y=3x−174y=3x-\frac{17}{4}$

则 $L_2$ 与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_2$ :

$0=3x2−1740=3x_2-\frac{17}{4}$

$x2=1712=1.41666666˙x_2=\frac{17}{12}=1.4166666\dot{6}$

或者直接用牛顿迭代公式:

$x2=x1−f(x1)f′(x1)=32−(32)2−22⋅32=32−112=1712x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=\frac{3}{2}-\frac{(\frac{3}{2})^2-2}{2\cdot \frac{3}{2}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{12}=\frac{17}{12}$

$x_2$ 为 $r$ 的二次近似值。

在这里插入图片描述

综上所述， $2\sqrt{2}$ 的二次正近似值为 $1712=1.41666666˙\frac{17}{12}=1.4166666\dot{6}$ 。

用牛顿迭代法求平方根的Java程序实现

假设你想用程序实现求出 $a$ 的正平方根。

已知三个公式：

牛顿迭代公式 $xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
$f(x)=x^2-a$
$f^{'} (x) = 2 x$

由三个公式可得：

$xn+1=xn−xn2−a2xnx_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}$

$xn+1=xn2+a2xnx_{n+1}=\frac{x_n^2+a}{2x_n}$

$xn+1=xn+axn2x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}$

因此，容易编写出以下程序：

public class Sqrt {public static void main(String[] args) {System.out.println(sqrt(2));}private static double sqrt(double a) {if (num < 0)throw new IllegalArgumentException();double err = 1E-15;double cur = a;while (Math.abs(a - cur * cur) > err)//精度越来越高cur = (cur + a / cur) / 2;return cur;}
}