1. 图的应用总览

    在数据结构中图的应用很广泛，本文主要从以下四个方面介绍：
    ①最小生成树：给定一个无向网络，在该网的所有生成树中，使得各边权数之和最小的那棵生成树称为该网的最小生成树，也叫最小代价生成树。
    ②拓扑排序：由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。
    ③关键路径：在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的长度，路径长度最长的路径叫做关键路径(Critical Path)。
    ④最短路径：最短路径问题是图研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

2. 最小生成树

问题提出：
    要在n个城市间建立通信联络网。顶点：表示城市，权：城市间通信线路的花费代价。希望此通信网花费代价最小。
问题分析：
    答案只能从生成树中找，因为要做到任何两个城市之间有线路可达，通信网必须是连通的；但对长度最小的要求可以知道网中显然不能有圈，如果有圈，去掉一条边后，并不破坏连通性，但总代价显然减少了，这与总代价最小的假设是矛盾的。
结论：
    希望找到一棵生成树，它的每条边上的权值之和（即建立该通信网所需花费的总代价）最小 —— 最小代价生成树。
    构造最小生成树的算法很多，其中多数算法都利用了一种称之为 MST 的性质。
    MST 性质：设 N = (V, E)  是一个连通网，U是顶点集 V的一个非空子集。若边 (u, v) 是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一棵包含边 (u, v) 的最小生成树。

（1）普里姆 (Prim) 算法

算法思想： 
    ①设 N=(V, E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
    ②初始令 U={u_0}, (u_0∈V), TE={ }。
    ③在所有u∈U，u∈U-V的边(u,v)∈E中，找一条代价最小的边(u_0,v_0 )。
    ④将(u_0,v_0 )并入集合TE，同时v_0并入U。
    ⑤重复上述操作直至U = V为止，则 T=(V,TE)为N的最小生成树。

 
代码实现：

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u)//用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T，输出T的各条边。//记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义；//closedge[j].lowcost表示在集合U中顶点与第j个顶点对应最小权值
{int k, j, i;k = LocateVex(G,u);for (j = 0; j < G.vexnum; ++j)	//辅助数组的初始化if(j != k){closedge[j].adjvex = u;closedge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;	
//获取邻接矩阵第k行所有元素赋给closedge[j!= k].lowcost}closedge[k].lowcost = 0;		
//初始，U = {u};  PrintClosedge(closedge,G.vexnum);for (i = 1; i < G.vexnum; ++i)	\
//选择其余G.vexnum-1个顶点，因此i从1开始循环{k = minimum(G.vexnum,closedge);		
//求出最小生成树的下一个结点：第k顶点PrintMiniTree_PRIM(G, closedge, k); 	//输出生成树的边closedge[k].lowcost = 0;				//第k顶点并入U集PrintClosedge(closedge,G.vexnum);for(j = 0;j < G.vexnum; ++j){                                           if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost)	
//比较第k个顶点和第j个顶点权值是否小于closedge[j].lowcost{closedge[j].adjvex = G.vexs[k];//替换closedge[j]closedge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;PrintClosedge(closedge,G.vexnum);}}}
}

（2）克鲁斯卡尔 (Kruskal) 算法

算法思想： 
    ①设连通网  N = (V, E )，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图，T=(V, { })，每个顶点自成一个连通分量。
    ②在 E 中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上（即：不能形成环），则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边。
③依此类推，直至 T 中所有顶点都在同一连通分量上为止。
      
    最小生成树可能不惟一！

3. 拓扑排序

（1）有向无环图

    无环的有向图，简称 DAG (Directed Acycline Graph) 图。
 
有向无环图在工程计划和管理方面的应用：除最简单的情况之外，几乎所有的工程都可分为若干个称作“活动”的子工程，并且这些子工程之间通常受着一定条件的约束，例如：其中某些子工程必须在另一些子工程完成之后才能开始。
对整个工程和系统，人们关心的是两方面的问题： 
①工程能否顺利进行； 
②完成整个工程所必须的最短时间。
对应到有向图即为进行拓扑排序和求关键路径。 
AOV网： 
    用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系，其中以顶点表示活动，弧表示活动之间的优先制约关系，称这种有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网(Activity On Vertex network)。
例如：排课表
      
AOV网的特点：
①若从i到j有一条有向路径，则i是j的前驱；j是i的后继。
②若< i , j >是网中有向边，则i是j的直接前驱；j是i的直接后继。
③AOV网中不允许有回路，因为如果有回路存在，则表明某项活动以自己为先决条件，显然这是荒谬的。

问题：    
    问题：如何判别 AOV 网中是否存在回路？
    检测 AOV 网中是否存在环方法：对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV网必定不存在环。

拓扑排序的方法：
    ①在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之。
    ②从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
    ③重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止。
        
    一个AOV网的拓扑序列不是唯一的！
代码实现：
 

Status TopologicalSort(ALGraph G)//有向图G采用邻接表存储结构。//若G无回路，则输出G的顶点的一个拓扑序列并返回OK，否则返回ERROR.//输出次序按照栈的后进先出原则，删除顶点，输出遍历
{SqStack S;int i, count;int *indegree1 = (int *)malloc(sizeof(int) * G.vexnum);int indegree[12] = {0};FindInDegree(G, indegree);	//求个顶点的入度下标从0开始InitStack(&S);PrintStack(S);for(i = 0; i < G.vexnum; ++i)if(!indegree[i])		//建0入度顶点栈Spush(&S,i);		//入度为0者进栈count = 0;				//对输出顶点计数while (S.base != S.top){ArcNode* p;pop(&S,&i);VisitFunc(G,i);//第i个输出栈顶元素对应的顶点，也就是最后进来的顶点	++count;		  //输出i号顶点并计数for(p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc){	//通过循环遍历第i个顶点的表结点，将表结点中入度都减1int k = p->adjvex;	//对i号顶点的每个邻接点的入度减1if(!(--indegree[k]))push(&S,k);		//若入度减为0，则入栈}//for}//whileif(count < G.vexnum){printf("\n该有向图有回路!\n");return ERROR;	//该有向图有回路}else{printf("\n该有向图没有回路!\n");return OK;}
}

关键路径

    把工程计划表示为有向图，用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动持续时间。每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。称这种有向图为边表示活动的网，简称为 AOE网 (Activity On Edge)。
例如：
设一个工程有11项活动，9个事件。
事件v_1——表示整个工程开始（源点） 
事件v_9——表示整个工程结束（汇点）

 
对AOE网，我们关心两个问题：  
①完成整项工程至少需要多少时间？ 
②哪些活动是影响工程进度的关键？
关键路径——路径长度最长的路径。
路径长度——路径上各活动持续时间之和。
v_i——表示事件v_i的最早发生时间。假设开始点是v_1，从v_1到〖v﷩i〗的最长路径长度。ⅇ(ⅈ)——表示活动a_i的最早发生时间。
l(ⅈ)——表示活动a_i最迟发生时间。在不推迟整个工程完成的前提下，活动a_i最迟必须开始进行的时间。
l(ⅈ)-ⅇ(ⅈ)意味着完成活动a_i的时间余量。
我们把l(ⅈ)=ⅇ(ⅈ)的活动叫做关键活动。显然，关键路径上的所有活动都是关键活动，因此提前完成非关键活动并不能加快工程进度。
    例如上图中网，从从v_1到v_9的最长路径是(v_1,v_2,v_5,v_8,ν_9 )，路径长度是18，即ν_9的最迟发生时间是18。而活动a_6的最早开始时间是5，最迟开始时间是8，这意味着：如果a_6推迟3天或者延迟3天完成，都不会影响整个工程的完成。因此，分析关键路径的目的是辨别哪些是关键活动，以便争取提高关键活动的工效，缩短整个工期。
    由上面介绍可知：辨别关键活动是要找l(ⅈ)=ⅇ(ⅈ)的活动。为了求ⅇ(ⅈ)和l(ⅈ)，首先应求得事件的最早发生时间vⅇ(j)和最迟发生时间vl(j)。如果活动a_i由弧〈j,k〉表示，其持续时间记为dut(〈j,k〉),则有如下关系：
ⅇ(ⅈ)= vⅇ(j)
l(ⅈ)=vl(k)-dut(〈j,k〉)
    求vⅇ(j)和vl(j)需分两步进行：
第一步：从vⅇ(0)=0开始向前递推
vⅇ(j)=Max{vⅇ(i)+dut(〈j,k〉)}   〈i,j〉∈T,j=1,2,…,n-1
其中，T是所有以第j个顶点为头的弧的集合。
第二步：从vl(n-1)=vⅇ(n-1)起向后递推
vl(i)=Min{vl(j)-dut(〈i,j〉)}  〈i,j〉∈S,i=n-2,…,0
其中，S是所有以第i个顶点为尾的弧的集合。
下面我们以上图AOE网为例，先求每个事件v_i的最早发生时间，再逆向求每个事件对应的最晚发生时间。再求每个活动的最早发生时间和最晚发生时间，如下面表格：
          
在活动的统计表中，活动的最早发生时间和最晚发生时间相等的，就是关键活动

关键路径的讨论：

①若网中有几条关键路径，则需加快同时在几条关键路径上的关键活动。      如：a11、a10、a8、a7。 
②如果一个活动处于所有的关键路径上，则提高这个活动的速度，就能缩短整个工程的完成时间。如：a1、a4。
③处于所有关键路径上的活动完成时间不能缩短太多，否则会使原关键路径变成非关键路径。这时必须重新寻找关键路径。如：a1由6天变成3天，就会改变关键路径。

关键路径算法实现：

int CriticalPath(ALGraph G)
{	//因为G是有向网，输出G的各项关键活动SqStack T;int i, j;	ArcNode* p;int k , dut;if(!TopologicalOrder(G,T))return 0;int vl[VexNum];for (i = 0; i < VexNum; i++)vl[i] = ve[VexNum - 1];		//初始化顶点事件的最迟发生时间while (T.base != T.top)			//按拓扑逆序求各顶点的vl值{for(pop(&T, &j), p = G.vertices[j].firstarc; p; p = p->nextarc){k = p->adjvex;	dut = *(p->info);	//dut<j, k>if(vl[k] - dut < vl[j])vl[j] = vl[k] - dut;}//for}//whilefor(j = 0; j < G.vexnum; ++j)	//求ee,el和关键活动{for (p = G.vertices[j].firstarc; p; p = p->nextarc){int ee, el;		char tag;k = p->adjvex;	dut = *(p->info);ee = ve[j];	el = vl[k] - dut;tag = (ee == el) ? '*' : ' ';PrintCriticalActivity(G,j,k,dut,ee,el,tag);}}return 1;
}

 

 

4.最短路

    典型用途：交通网络的问题——从甲地到乙地之间是否有公路连通？在有多条通路的情况下，哪一条路最短？
 
    交通网络用有向网来表示：顶点——表示城市，弧——表示两个城市有路连通，弧上的权值——表示两城市之间的距离、交通费或途中所花费的时间等。
    如何能够使一个城市到另一个城市的运输时间最短或运费最省？这就是一个求两座城市间的最短路径问题。
    问题抽象：在有向网中A点（源点）到达B点（终点）的多条路径中，寻找一条各边权值之和最小的路径，即最短路径。最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点，也不一定包含n - 1条边。
   常见最短路径问题：单源点最短路径、所有顶点间的最短路径
（1）如何求得单源点最短路径？
    穷举法：将源点到终点的所有路径都列出来，然后在其中选最短的一条。但是，当路径特别多时，特别麻烦；没有规律可循。
    迪杰斯特拉（Dijkstra）算法：按路径长度递增次序产生各顶点的最短路径。
路径长度最短的最短路径的特点：
    在此路径上，必定只含一条弧 <v_0, v_1>，且其权值最小。由此，只要在所有从源点出发的弧中查找权值最小者。
下一条路径长度次短的最短路径的特点：
①、直接从源点到v_2<v_0, v_2>（只含一条弧）；
②、从源点经过顶点v_1，再到达v_2<v_0, v_1>,<v_1, v_2>（由两条弧组成）
再下一条路径长度次短的最短路径的特点：
    有以下四种情况：
    ①、直接从源点到v_3<v_0, v_3>（由一条弧组成）；
    ②、从源点经过顶点v_1，再到达v_3<v_0, v_1>,<v_1, v_3>（由两条弧组成）；
    ③、从源点经过顶点v_2，再到达v_3<v_0, v_2>,<v_2, v_3>（由两条弧组成）；
    ④、从源点经过顶点v_1  ,v_2，再到达v_3<v_0, v_1>,<v_1, v_2>,<v_2, v_3>（由三条弧组成）；
其余最短路径的特点:    
    ①、直接从源点到v_i<v_0, v_i>（只含一条弧）；
    ②、从源点经过已求得的最短路径上的顶点，再到达v_i（含有多条弧）。
Dijkstra算法步骤：
    初始时令S={v_0},  T={其余顶点}。T中顶点对应的距离值用辅助数组D存放。
    D[i]初值：若<v_0, v_i>存在，则为其权值；否则为∞。 
    从T中选取一个其距离值最小的顶点v_j，加入S。对T中顶点的距离值进行修改：若加进v_j作中间顶点，从v_0到v_i的距离值比不加 vj 的路径要短，则修改此距离值。
    重复上述步骤，直到 S = V 为止。

算法实现：

void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix &P,ShortPathTable &D)
{ // 用Dijkstra算法求有向网 G 的 v0 顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v]。// 若P[v][w]为TRUE,则 w 是从 v0 到 v 当前求得最短路径上的顶点。  P是存放最短路径的矩阵，经过顶点变成TRUE// final[v]为TRUE当且仅当 v∈S,即已经求得从v0到v的最短路径。int v,w,i,j,min;Status final[MAX_VERTEX_NUM];for(v = 0 ;v < G.vexnum ;++v){final[v] = FALSE;D[v] = G.arcs[v0][v].adj;		//将顶点数组中下标对应是 v0 和 v的距离给了D[v]for(w = 0;w < G.vexnum; ++w)P[v][w] = FALSE;			//设空路径if(D[v] < INFINITY){P[v][v0] = TRUE;P[v][v] = TRUE;}}D[v0]=0;final[v0]= TRUE; /* 初始化,v0顶点属于S集 */for(i = 1;i < G.vexnum; ++i) /* 其余G.vexnum-1个顶点 */{ /* 开始主循环,每次求得v0到某个v顶点的最短路径,并加v到S集 */min = INFINITY; /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */for(w = 0;w < G.vexnum; ++w)if(!final[w]) /* w顶点在V-S中 */if(D[w] < min){v = w;min = D[w];} /* w顶点离v0顶点更近 */final[v] = TRUE; /* 离v0顶点最近的v加入S集 */for(w = 0;w < G.vexnum; ++w) /* 更新当前最短路径及距离 */{if(!final[w] && min < INFINITY && G.arcs[v][w].adj < INFINITY && (min + G.arcs[v][w].adj < D[w])){ /* 修改D[w]和P[w],w∈V-S */D[w] = min + G.arcs[v][w].adj;for(j = 0;j < G.vexnum;++j)P[w][j] = P[v][j];P[w][w] = TRUE;}}}
}