大数的四则运算（加法、减法、乘法、除法）

前言：

    在计算机中数字表示的范围是有限制的，比如我们熟知的 int、float、double 等数据类型所能表示的范围都是有限的，如果我们要对位数达到几十位、几百位、上千位的大整数进行计算，这些数据类型显然不能满足我们的要求，因此我们需要通过算法来实现这些功能。

 

1、大数加法

    两个大数我们可以用数组来保存，然后在数组中逐位进行相加，再判断该位相加后是否需要进位，为了方便计算，我们将数字的低位放在数组的前面，高位放在后面。

下面是两个正的大整数相加算法的C语言参考代码：

 1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 4 #define MAX 1000    // 大数的最大位数 5 6  7 /*8   大数加法 9   参数： 
10   num1为第一个大数，用字符数组保存
11   num2为第二个大数
12   sum数组保存相加的结果  即：num1+num2=sum
13   返回值：返回数组sum的有效长度，即计算结果的位数 
14  */
15 int Addition(char num1[], char num2[], int sum[])
16 {
17     int i, j, len;
18     int n2[MAX] = {0};
19     int len1 = strlen (num1); // 计算数组num1的长度，即大数的位数 
20     int len2 = strlen (num2); // 计算数组num2的长度，即大数的位数 
21 
22     len = len1>len2 ? len1 : len2; // 获取较大的位数
23     //将num1字符数组的数字字符转换为整型数字，且逆向保存在整型数组sum中，即低位在前，高位在后
24     for (i = len1-1, j = 0; i >= 0; i--, j++) 
25         sum[j] = num1[i] - '0';
26     // 转换第二个数 
27     for (i = len2-1, j = 0; i >= 0; i--, j++)
28         n2[j] = num2[i] - '0';
29     // 将两个大数相加 
30     for (i = 0; i <= len; i++)
31     {
32         sum[i] += n2[i];  // 两个数从低位开始相加 
33         if (sum[i] > 9)   // 判断是否有进位 
34         {   // 进位 
35             sum[i] -= 10;
36             sum[i+1]++;
37         }
38     }
39     if(sum[len] != 0)  // 判断最高位是否有进位 
40         len++;
41     return len;   // 返回和的位数 
42 }
43 
44 int main()
45 {
46     int i, len;
47     int sum[MAX] = {0}; // 存放计算的结果，低位在前，高位在后，即sum[0]是低位 
48     char num1[] = "1234567891234567891234"; // 第一个大数 
49     char num2[] = "2345678912345678913345"; // 第二个大数 
50     len = Addition(num1, num2, sum);    // 两数相加 
51     printf("%s\n  +\n%s\n  =\n", num1, num2);
52     // 反向输出求和结果
53     for (i = len-1; i >= 0; i--)
54         printf("%d", sum[i]);
55     printf("\n"); 
56     return 0;
57 }

 

2、大数减法

    相减算法也是从低位开始减的。先要判断被减数和减数哪一个位数长，若被减数位数长是正常的减法；若减数位数长，则用被减数减去减数，最后还要加上负号；当两数位数长度相等时，最好比较哪一个数字大，否则负号处理会很繁琐；处理每一项时要，如果前一位相减有借位，就先减去上一位的借位，无则不减，再去判断是否能够减开被减数，如果减不开，就要借位后再去减，同时置借位为1，否则置借位为0。

下面是C语言参考代码：

  1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 4 #define MAX 1000    // 大数的最大位数 5 6  7 /*8   大数减法 9   参数： 10   num1为被减数，用字符数组保存11   num2为减数 12   sum数组保存相减的结果   即：num1-num2=sum13   返回值：返回数组sum的有效长度，即计算结果的位数 14  */15 int Subtraction(char num1[], char num2[], int sum[])16 {17     int i, j, len, blag;18     char *temp;19     int n2[MAX] = {0};20     int len1 = strlen(num1); // 计算数组num1的长度，即大数的位数 21     int len2 = strlen(num2); // 计算数组num2的长度，即大数的位数22     23     // 在进行减法之前要进行一些预处理 24     blag = 0; // 为0表示结果是正整数，为1表示结果是负整数 25     if(len1 < len2) // 如果被减数位数小于减数26     {27         blag = 1; // 标记结果为负数28         // 交换两个数，便于计算 29         temp = num1;30         num1 = num2;31         num2 = temp;32         len = len1;33         len1 = len2;34         len2 = len;35     }36     else if(len1 ==len2) // 如果被减数的位数等于减数的位数37     {  38         // 判断哪个数大 39         for(i = 0; i < len1; i++)40         {41             if(num1[i] == num2[i])42                 continue;43             if(num1[i] > num2[i])44             {45                 blag = 0; // 标记结果为正数 46                 break;47             } 48             else49             {50                 blag = 1; // 标记结果为负数 51                 // 交换两个数，便于计算 52                 temp = num1;53                 num1 = num2;54                 num2 = temp;55                 break;56             } 57         } 58     }59     len = len1>len2 ? len1 : len2; // 获取较大的位数60     //将num1字符数组的数字转换为整型数且逆向保存在整型数组sum中，即低位在前，高位在后61     for (i = len1-1, j = 0; i >= 0; i--, j++) 62         sum[j] = num1[i] - '0';63     // 转换第二个数 64     for (i = len2-1, j = 0; i >= 0; i--, j++)65         n2[j] = num2[i] - '0';66     // 将两个大数相减 67     for (i = 0; i <= len; i++)68     {69         sum[i] = sum[i] - n2[i]; // 两个数从低位开始相减 70         if (sum[i] < 0)   // 判断是否有借位 71         {    // 借位 72             sum[i] += 10;73             sum[i+1]--;74         }75     }76     // 计算结果长度 77     for (i = len1-1; i>=0 && sum[i] == 0; i--)78         ;79     len = i+1;80     if(blag==1)81     {82         sum[len] = -1;  // 在高位添加一个-1表示负数 83         len++;84     }85     return len;   // 返回结果的位数 86 }87 88 int main()89 {90     int i, len;91     int sum[MAX] = {0}; // 存放计算的结果，低位在前，高位在后，即sum[0]是低位 92     char num1[] = "987654321987654321"; // 第一个大数 93     char num2[] = "123456789123456789"; // 第二个大数 94     len = Subtraction(num1, num2, sum);    // 两数相减 95     // 输出结果96     printf("%s\n  -\n%s\n  =\n", num1, num2);97     if(sum[i=len-1] < 0) // 根据高位是否是-1判断是否是负数98     {99         printf("-"); // 输出负号
100         i--;
101     }
102     for (; i >= 0; i--)
103         printf("%d", sum[i]);
104     printf("\n"); 
105     return 0;
106 } 

 

3、大数乘法

    首先说一下乘法计算的算法，从低位向高位乘，在竖式计算中，我们是将乘数第一位与被乘数的每一位相乘，记录结果，之后，用第二位相乘，记录结果并且左移一位，以此类推，直到计算完最后一位，再将各项结果相加，得出最后结果。

    计算的过程基本上和小学生列竖式做乘法相同。为了编程方便，并不急于处理进位，而是将进位问题留待最后统一处理。

    总结一个规律: 即一个数的第i 位和另一个数的第j 位相乘所得的数，一定是要累加到结果的第i+j 位上。这里i, j 都是从右往左，从0 开始数。
    ans[i+j] = a[i]*b[j];

    另外注意进位时要处理，当前的值加上进位的值再看本位数字是否又有进位；前导清零。

下面是C语言的两个正大数相乘的参考代码：

 1 #include<stdio.h>2 #include<string.h>3 4 #define MAX 1000    // 大数的最大位数 5 6  7 /*8   大数乘法 9   参数： 
10   num1为第一个因数，用字符数组保存
11   num2为第二个因数
12   sum数组保存相乘的结果  即：num1*num2=sum
13   返回值：返回数组sum的有效长度，即计算结果的位数 
14  */
15 int Multiplication(char num1[],char num2[], int sum[])
16 {
17     int i, j, len, len1, len2;
18     int a[MAX+10] = {0};
19     int b[MAX+10] = {0};
20     int c[MAX*2+10] = {0};
21     
22     len1 = strlen(num1);
23     for(j = 0, i = len1-1; i >= 0; i--) //把数字字符转换为整型数 
24         a[j++] = num1[i]-'0';
25     len2 = strlen(num2);
26     for(j = 0, i = len2-1; i >= 0; i--)
27         b[j++] = num2[i]-'0';
28     
29     for(i = 0; i < len2; i++)//用第二个数乘以第一个数,每次一位 
30     {
31         for(j = 0; j < len1; j++)
32         {
33             c[i+j] += b[i] * a[j]; //先乘起来,后面统一进位
34         }
35     }
36     
37     for(i=0; i<MAX*2; i++) //循环统一处理进位问题
38     {
39         if(c[i]>=10)
40         {
41             c[i+1]+=c[i]/10;
42             c[i]%=10;
43         }
44     }
45 
46     for(i = MAX*2; c[i]==0 && i>=0; i--); //跳过高位的0
47     len = i+1; // 记录结果的长度 
48     for(; i>=0; i--)
49         sum[i]=c[i];
50     return len; 
51 }
52 
53 int main()
54 {
55     int i, len;
56     int sum[MAX*2+10] = {0}; // 存放计算的结果，低位在前，高位在后，即sum[0]是低位 
57     char num1[] = "123456789123456789"; // 第一个大数 
58     char num2[] = "123456789123456789"; // 第二个大数 
59     len = Multiplication(num1, num2, sum);
60     // 输出结果
61     printf("%s\n  *\n%s\n  =\n", num1, num2);
62     for(i = len-1; i>=0; i--)
63         printf("%d", sum[i]); 
64     printf("\n"); 
65     return 0;
66 } 

 

4、大数除法

    大数除法是四则运算里面最难的一种。不同于一般的模拟，除法操作不是模仿手工除法，而是利用减法操作来实现的。其基本思想是反复做除法，看从被除数里面最多能减去多少个除数，商就是多少。逐个减显然太慢，要判断一次最多能减少多少个整数(除数)的10的n次方。

以7546除以23为例：

    先用7546减去23的100倍，即减去2300，可以减3次，余下646，此时商就是300 (300=100*3)；

    然后646减去23的10倍，即减去230，可以减2次，余下186，此时商就是320 (320=300+10*2)；

    然后186减去23，可以减8次，余下2，此时商就是328 (328=320+1*8)；

    因为2除以23的结果小于1，而我们又不用计算小数点位，所以不必再继续算下去了。

下面是C语言的两个正大数相除的参考代码，计算结果中没有小数：

  1 #include<stdio.h>2 #include<string.h> 3 #define MAX 1000    // 大数的最大位数 4 5 // 注： 6 // 本代码在以下博客代码中进行修改： 7 // http://www.cnblogs.com/javawebsoa/archive/2013/08/01/3231078.html8 // 9 10 11 /*12   函数SubStract功能：13   用长度为len1的大整数p1减去长度为len2的大整数p214   结果存在p1中，返回值代表结果的长度15   不够减：返回-1 ， 正好够：返回016 */ 17 int SubStract(int *p1, int len1, int *p2, int len2)18 {19     int i;20     if(len1 < len2)21         return -1;22     if(len1 == len2 )23     {                        // 判断p1 > p224         for(i = len1-1; i >= 0; i--)25         {26             if(p1[i] > p2[i])   // 若大，则满足条件，可做减法27                 break;28             else if(p1[i] < p2[i]) // 否则返回-129                 return -1;30         }31     }32     for(i = 0; i <= len1-1; i++)  // 从低位开始做减法33     {34         p1[i] -= p2[i];         // 相减 35         if(p1[i] < 0)           // 若是否需要借位36         {   // 借位 37             p1[i] += 10;38             p1[i+1]--;39         }40     }41     for(i = len1-1; i >= 0; i--)  // 查找结果的最高位42     {43         if( p1[i] )             //最高位第一个不为044             return (i+1);       //得到位数并返回45     } 46     return 0;                   //两数相等的时候返回047 }48 49 50 /*51   大数除法---结果不包括小数点 52   num1 被除数53   num2 除数 54   sum  商，存放计算的结果，即：num1/num2=sum55   返回数组sum的有效长度，即商的位数 56 */ 57 int Division(char num1[], char num2[], char sum[])58 {59     int k, i, j;60     int len1, len2, len=0;     //大数位数61     int dValue;                //两大数相差位数62     int nTemp;                 //Subtract函数返回值63     int num_a[MAX] = {0};      //被除数64     int num_b[MAX] = {0};      //除数65     int num_c[MAX] = {0};      //商 66 67     len1 = strlen(num1);       //获得大数的位数68     len2 = strlen(num2);69     70     //将数字字符转换成整型数，且翻转保存在整型数组中 71     for( j = 0, i = len1-1; i >= 0; j++, i-- )72         num_a[j] = num1[i] - '0';73     for( j = 0, i = len2-1; i >= 0; j++, i-- )74         num_b[j] = num2[i] - '0';75 76     if( len1 < len2 )          //如果被除数小于除数，直接返回-1，表示结果为077     {78         return -1;79     }80     dValue = len1 - len2;      //相差位数81     for (i = len1-1; i >= 0; i--)    //将除数扩大，使得除数和被除数位数相等82     {83         if (i >= dValue)84             num_b[i] = num_b[i-dValue];85         else                         //低位置086             num_b[i] = 0;87     }88     len2 = len1;89     for(j = 0; j <= dValue; j++ )    //重复调用，同时记录减成功的次数，即为商90     {91         while((nTemp = SubStract(num_a, len1, num_b+j, len2-j)) >= 0)92         {93             len1 = nTemp;            //结果长度94             num_c[dValue-j]++;       //每成功减一次，将商的相应位加195         }96     }97     // 计算商的位数，并将商放在sum字符数组中 98     for(i = MAX-1; num_c[i] == 0 && i >= 0; i-- );  //跳过高位0，获取商的位数 99     if(i >= 0)
100         len = i + 1; // 保存位数 
101     for(j = 0; i >= 0; i--, j++)     // 将结果复制到sum数组中 
102         sum[j] = num_c[i] + '0';
103     sum[j] = '\0';   // sum字符数组结尾置0 
104     return len;      // 返回商的位数 
105 } 
106 
107 
108 int main()
109 {
110     int i;
111     int len;                // 商的位数
112     char num1[MAX] = "1234567899876543210";   // 第一个大数
113     char num2[MAX] = "20160415123025";              // 第二个大数
114     char sum[MAX] = {0};    // 计算结果 
115 
116     //scanf("%s", num1);      //以字符串形式读入大数
117     //scanf("%s", num2);
118     
119     len = Division(num1, num2, sum); 
120     
121     //输出结果
122     printf("%s\n  ÷\n%s\n  =\n", num1, num2);
123     if( len>=0 )
124     {
125         for(i = 0; i < len; i++ )
126             printf("%c", sum[i]);
127     }
128     else
129     {
130         printf("0");
131     }
132     printf("\n");
133     
134     return 0;
135 }

 

5、使用Java提供的类

    在Java中提供了BigInteger类和BigDecimal类，分别用来处理大整数和大浮点数，我们只要调用里面提供的方法就能很方便的进行大数的四则运算，具体实现可参考：