综述

本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。

1.1 线性空间

1.1.1 集合与映射

1.集合：将很多东西放在一块，构成一个整体；这个整体就是一个集合。组成集合的单个个体称为集合的元素。构成同一集合的元素一般具有某些共同的性质，将其放在一块便于统一研究。例如：由偶数组成的集合，偶数集。集合一般用大写字母表示，如：A,B,C，S；集合中元素用小写字母表示，如：a,b,c。集合与元素的关系为：属于（$\in$）,不属于（$\notin$）

2.子集合：由一个集合（记为：S）的部分或全部元素构成的新集合称为原来集合的子集（记为：S1），记为：S1$\subset$S2.

3.两个集合相等： 两个集合具有完全相同的元素，那么，就称这两个集合完全相等。显然：
$$S1\subset S2andS2\subset S1=>S2$$
此条在此后证明两个集合相等的时会经常被用到。

4.集合的运算:
-------------- 交集：同时属于两个集合的元素构成的集合。
---------------并集：两个集合的元素放在一块并刨去重复的元素。剩余元素构成的集合。
---------------和集：针对数集而言：S1+S2={x+y∣x∈S1,y∈S2}S1+S2=\{x+y|x \in S1 ,y \in S2\}S1+S2={x+y∣x∈S1,y∈S2}

5数域: 某些数集（含非零的数），如果其中任意两个数的的和、差、积、商（除数不为0）的结果仍然属于该集合（该集合关于四则运算封闭），那么该数集称为数域。如实数集 R对四则运算封闭，可以构成一个数域，称为实数域

** 6.集合间映射：** 有一个法则$\sigma :S->S^{\prime }$，它使得S中的每一个元a都有S’中一个确定的元素a’与之对应,这个法则就定义了一个映射，记为：
$$\sigma (a)=a^{\prime }$$
自身到自身色映射也可以称为一个变换。

1.1.2 线性空间及其性质

1.线性空间： 非空的集合V,集合中元素满足加法封闭，且该加法满足结合律、交换律、存在零元、存在负元。外加一个数域K，集合中的元素与数域中的数之间的数乘对集合V封闭，且该数乘满足数因子分配率，元素分配率、数因子结合律、存在单位1，那么称V为K上的线性空间（或者向量空间）。

定理：线性空间中有唯一的零元素，且任何元素的负元素唯一。（唯一性的证明：反证法，设有两个不同的0元素，推导两个零元素相等，假设不成立，唯一性得证）

2.线性相关与线性无关：
线性空间V中的一个元素$x$，可以由空间中m个元素$x_1,x_2...x_m$以数乘加和的形式表示：
$$x=c_1{x}_1+c_2{x}_2+...+c_m{x}_m$$
则称$x$可以由 $x_1,x_2...x_m$ 线性表出。

如果0元素的线性表出系数不全为0，就称$x_1,x_2...x_m$ 线性相关；
如果0元素的线性表出系数全为0，就称$x_1,x_2...x_m$ 线性无关；

定义： 线性空间v中线性无关向量组所含的最大向量个数称为这个线性空间V的 维数。例如：$R^{n\ast n}$是R上的$n^2$维的线性空间，因为$R^{n\ast n}$中任意一元素A可以表示为：
$$A=(a_{ij}{)}_{n\ast n}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{E}_{ij}$$
其$n^2个E_{ij}$线性无关，所以：$dim{R}^{n\ast n}=n^2$