综述

本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。

1.1 线性空间

向量的坐标有利于借助数量运算实现向量运算，所以引进向量的坐标是十分必要的。

基：设集合V是数域K上的线性空间， $x_1,x_2,...,x_r（r>=1）$ 是属于V的任意r个向量，这r个向量线性无关；且V中任意一个向量x都可以由 $x_1,x_2,...,x_r$ 线性表示。则 $x_1,x_2,...,x_r$ 是V的一组基。线性空间的基是不唯一的。
坐标： 集合V中的任意一个向量x在一组基下的线性表示系数，为这个向量在该组基下的坐标。且每一个向量在同一组基下的坐标表示是唯一的。（唯一性的证明：设两组坐标表示，相等移项，有基线性无关，推导系数为零，导出坐标表示唯一）

在线性空间中引入向量坐标的概念后，抽象的向量和向量组的有关问题可以转化为坐标运算的问题。

因为线性空间的基是不唯一的，所以同一向量在不同基下的坐标表示一般是不同的。当基变换时，同一向量的坐标该如何变化？

基变换公式：
旧基： $x_1,x_2,...,x_n$
新基： $y_1,y_2,...,y_n$
新基向量用旧基线性表示：
${y1=c11x1+c21x2+...+cn1xny2=c12x1+c22x2+...+cn2xn......yn=c1nx1+c2nx2+...+cnnxn\left\{ \begin{aligned} y_1=c_{11}x_1+c_{21}x_2+...+c_{n1}x_n \\ y_2=c_{12}x_1+c_{22}x_2+...+c_{n2}x_n \\ ... ...\\ y_n=c_{1n}x_1+c_{2n}x_2+...+c_{nn}x_n \end{aligned} \right.$
=>
$y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)C$
$C=[c11c12...c1nc21c22...c2n............cn1cn2...cnn]C=\begin{gathered} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12}&...&c_{1n} \\ c_{21} & c_{22}&...&c_{2n} \\ ... & ...&...&... \\c_{n1} & c_{n2}&...&c_{nn} \\\end{bmatrix} \end{gathered}$
C为旧基改变为新基的过度矩阵。
坐标变换：
向量x在新旧两组基下的坐标表示：
旧基坐标表示： $α=(ξ1,ξ2,...,ξn)T\alpha =(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T$
新基坐标表示： $β=(η1,η2,...,ηn)T\beta =(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)^T$
$x=(x1,x2,...,xn)α=(y1,y2,...,yn)β=(x1,x2,...,xn)Cβx=(x_1,x_2,...,x_n)\alpha=(y_1,y_2,...,y_n)\beta=(x_1,x_2,...,x_n)C\beta$
=>
$α=Cβ∣∣β=C−1α\alpha=C\beta ||\beta=C^{-1}\alpha$