特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，这些等式描述了特定对象的特性。依据研究的对象不同，特征方程包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。

1.数列特征方程

数列的特征方程 可以用于求导 数列通项公式。
数列的二阶线性推导：
$$a_{n+1}=p{a}_n+q{a}_{n-1}$$
由待定系数法，对比下列等比公式:
$$a_{n+1}-t{a}_n=s(a_n-t{a}_{n-1})$$
可得：
$$\{\begin{array}{rlr}p& =& s+t...(1)\\ y& =& st...(2)\end{array}$$
一般情况下上面方程组有两组不同的解$(t_1,s_1)(t_2,s_2)$（特殊情况详见参考资料），依据等比数列通项公式可得吗：
$$\{\begin{array}{rlr}{a}_{n+1}-t_1{a}_n& =& (a_2-t_1{a}_1)s_1^{n-1}...(3)\\ a_{n+1}-t_2{a}_n& =& (a_2-t_2{a}_1)s_2^{n-1}...(4)\end{array}$$
(3)-(4)化简得：
$$a_n=\frac{a_2-t_1{a}_1}{(t_2-t_1)s_1}{s}_1^n+\frac{a_2-t_2{a}_1}{(t_2-t_1)s_1}{s}_2^n=c_1{s}_1^n+c_2{s}_2^n$$
即只需知道$s_1,s_2$，通过初始条件($a_1,a_2$的已知值)求解系数$c_1,c_2$即可。

好像求到这里没有数列特征方程什么事啊！那数列的特征方程是怎么回事呢？其实，$s_1,s_2$是求数列特征方程的根。

通过求解第一个方程组可以求得s，将(2)式子带入(1)式，消去t，方程组变为求解下面二元一次方程：
$$s^2-ps-q=0$$

此方程即定义为数列二阶线性推到的特征方程。

以上推导过程，总结由数列的二次递推式$a_{n+1}=p{a}_n+q{a}_{n-1}$ 求解 通项公式的步骤：
step1:求解数列特征方程$s^2-ps-q=0->(s_1,s_2)$
step2:由初始条件求解$c_1,c_2$
step3: 通项公式为$a_n=c_1{s}_1^n+c_2{s}_2^n$

参考资料:
https://wenku.baidu.com/view/8824638caef8941ea76e0592.html
https://blog.csdn.net/qq_20340417/article/details/78433961

2.矩阵特征方程

（矩阵的特征方程是我最经常看到的特征方程，在写这篇文章之前。我一直以为特征方程指的就是矩阵的特征方程。咦，闲话不多说）

矩阵的特征方程 可以用于求解矩阵的特征值。

每个事物都具有许多的特征，这些特征用于表示该事物的某些属性，矩阵也不例外地具有许多特征。在一个方阵A的众多特征中，其 特征值与特征向量 是两个比较典型的特征。一个方阵A的特征值$\lambda$与特征向量$x$为满足下式：
$$Ax=\lambda x...(2.1)$$

上式的几何含义：对向量$x$做变换$A$，其效果等价于对$x$做伸缩变换，伸缩系数为$\lambda$。

特征值和特征向量的定义和几何意义很明确，那么如何求解$x,\lambda$
呢？将(2.1)式移项得：
$$Ax-\lambda x=0->(A-\lambda I)x=0...(2.2)$$
如果特征向量$x=[x_1,x-2,...,x_n]$为n维向量，那么对式(2.2)求解$x$的过程 等价于 求解一个n元一次方程组。n元一次方程组有非零解的 充要条件 为：系数矩阵的行列式为0，即：
$$|A-\lambda I|=0...(2.3)$$

式子(2.3)即为矩阵A的特征方程。

以上推导过程，总结求解方阵A 特征值与特征多项式的步骤：
step1:求解特征方程：$|A-\lambda I|=0$
step2:带$\lambda$入(2.2)式求解特征向量$x$

参考资料：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC/8309765?fr=aladdin

3.微分方程特征方程

微分方程的特征方程可以用于求解 二阶 常系数 齐次 常微分方程。

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式，如：
$$\frac{dy}{dx}=2x..(3.1)$$

解微分方程就是找出未知函数，如：
$$y=x^2+C$$

$C$由微分方程的约束条件确定。

微分方程的阶数由方程中函数的几次导数决定,（3.1）式子为阶微分方程；只含有一个未知数的微分方程为常微分方程。

二阶 常系数 齐次 常微分方程：
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0...(3.2)$$
只要满足式(3.2)的函数就是其解，可以假设$y=e^{rx}$,求解合适的$r$满足(3.2)式。(为啥设置$y=e^{rx}$的具体原因我忘记了)

将$y=e^{rx}$带入(3.2)式子，有：
$$(r^2+pr+q)e^{rx}=0...(3.2)$$

因为：$e^{rx}$恒大于0，所以只有：$$r^2+pr+q=0...(3.4)$$

的$r$才能使(3.3)式为0。式子(3.4)为二阶 常系数 齐次 常微分方程的特征方程，解特征方程得$r_1,r_2$（假定有两个不相等的实数解，其他情况，详见参考资料），那么$y_1=e^{r_{1}x},y_2=e^{r_{2}x}$为方程的两个解，这两个解的各种线性组合也是微分方程的解，所以，微分方程的通解为：
$$y=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}...(3.5)$$

以上推导过程，总结求解 二阶常系数齐次常微分方程 的步骤：
step1:求解特征方程：$r^2+pr+q=0$
step2:依据初始条件求解系数$c_1,c_2$
step3:带入3.5式，二阶常系数齐次常微分方程的通解为：$y=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}...(3.5)$

参考资料：
https://baike.baidu.com/item/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B/4763?fr=aladdin
https://blog.csdn.net/low5252/article/details/90758604

4.积分方程特征方程

积分方程是含有 对未知函数的积分运算 的方程，与微分方程相对。如果积分方程中只含有位置。
积分方程中有核函数$k(x,y)$,核函数可以展开成特征值与特征函数加权和
$$k(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{{\lambda }_i}{\psi }_i(x){\psi }_i(y)$$

具体内容详见下面资料。（本部分还不会，逃！总有一天我会回来的）

参考材料：https://wenku.baidu.com/view/344127efaf45b307e87197f2