scipy.spatial.distance 距离计算库中有两个函数：pdist, squareform，用于计算样本对之间的欧式距离，并且将样本间距离用方阵表示出来。

（题外话）
SciPy: 基于Numpy，提供方法(函数库)直接计算结果，封装了一些高阶抽象和物理模型
Numpy： 来存储和处理大型矩阵，比Python自身的嵌套列表（nested list structure)结构要高效的多，本身是由C语言开发。
Pandas: 基于NumPy 的一种工具，该工具是为了解决数据分析任务而创建的。
参考 资料：https://www.jianshu.com/p/32cb09d84487

（回正题）

1.pdist, squareform使用例子

pdist, squareform的操作基于numpy,

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
>>> x=np.array([[1,1,1],[2,2,2],[4,4,4]])  #三个一维向量：x1=[1,1,1] x2=[2,2,2],x3=[4,4,4]>>> Dis=pdist(x)
>>> Dis             # d(x1,x2)=sqrt(3)=1.7 ,d(x1,x3)=sqrt(27),d(x2,x3)=sqrt(8)
array([1.73205081, 5.19615242, 3.46410162])>>> D=squareform(Dis)
array([[0.        , 1.73205081, 5.19615242],     # d(x1,x1),d(x1,x2),d(x1,x3)[1.73205081, 0.        , 3.46410162],	 # d(x2,x1),d(x2,x2),d(x2,x3)[5.19615242, 3.46410162, 0.        ]])    # d(x3,x1),d(x3,x2),d(x3,x1)

因为距离度量具有对称性，即$d(x1,x2)=d(x2,x1)$，所以上述矩阵为一个对称阵。

2.通过矩阵的四则运算实现上述pdist, squareform

有三个三维样本：x1=[1,1,1],x2=[2,2,2]x3=[4,4,4]，样本之间距离的方阵为：

$$D=\left[\begin{array}{ccc}d(x1,x1)& d(x1,x2)& d(x1,x3)\\ d(x2,x1)& d(x2,x2)& d(x2,x3)\\ d(x3,x1)& d(x3,x2)& d(x3,x3)\end{array}\right]$$

$$d(x,y)=x{x}^T+y{y}^T-2x{y}^T$$

所以：
$$D=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T+x_1{x}_1^T-2x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T+x_2{x}_2^T-2x_1{x}_2^T,& x_1{x}_1^T+x_3{x}_3^T-2x_1{x}_3^T\\ x_2{x}_2^T+x_1{x}_1^T-2x_2{x}_1^T,& x_2{x}_2^T+x_2{x}_2^T-2x_2{x}_1^T,& x_2{x}_2^T+x_3{x}_3^T-2x_2{x}_3^T\\ x_3{x}_3^T+x_1{x}_1^T-2x_3{x}_1^T,& x_3{x}_3^T+x_2{x}_2^T-2x_3{x}_2^T,& x_3{x}_3^T+x_3{x}_3^T-2x_3{x}_3^T\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T\\ x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T\\ x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T\end{array}\right]+{\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T\\ x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T\\ x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T\end{array}\right]}^T-2\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_2^T,& x_1{x}_3^T\\ x_2{x}_1^T,& x_2{x}_1^T,& x_2{x}_3^T\\ x_3{x}_1^T,& x_3{x}_2^T,& x_3{x}_3^T\end{array}\right]$$

$$=>\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T,& x_1{x}_1^T\\ x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T,& x_2{x}_2^T\\ x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T,& x_3{x}_3^T\end{array}\right]$$
矩阵对应元素相乘，行复制

$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_1{x}_1^T,& x_1{x}_2^T,& x_1{x}_3^T\\ x_2{x}_1^T,& x_2{x}_1^T,& x_2{x}_3^T\\ x_3{x}_1^T,& x_3{x}_2^T,& x_3{x}_3^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{c}x1\\ x2\\ x3\end{array}\right]}^T$$

程序实现：

X=np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]])
X2=(X*X).sum(1)*np.ones([3,3])
XXT=np.matmul(X,X.T)
D=X2+X2.T-2*XXT
D=np.sqrt(D2)
print (D)# 输出
[[ 0.          1.73205081  5.19615242][ 1.73205081  0.          3.46410162][ 5.19615242  3.46410162  0.        ]]

**温馨提示：**上述矩阵为距离矩阵，在实际应用的过程中，注意使用的是距离的平方，还是距离。