数学模型

1. 近似

N³/6-N²/2+N/3 ~ N³/6。使用 ~f(N) 来表示所有随着 N 的增大除以 f(N) 的结果趋近于 1 的函数。

2. 增长数量级

N³/6-N²/2+N/3 的增长数量级为 O(N³)。增长数量级将算法与它的具体实现隔离开来，一个算法的增长数量级为 O(N³) 与它是否用 Java 实现，是否运行于特定计算机上无关。

3. 内循环

执行最频繁的指令决定了程序执行的总时间，把这些指令称为程序的内循环。

4. 成本模型

使用成本模型来评估算法，例如数组的访问次数就是一种成本模型。

注意事项

1. 大常数

在求近似时，如果低级项的常数系数很大，那么近似的结果是错误的。

2. 缓存

计算机系统会使用缓存技术来组织内存，访问数组相邻的元素会比访问不相邻的元素快很多。

3. 对最坏情况下的性能的保证

在核反应堆、心脏起搏器或者刹车控制器中的软件，最坏情况下的性能是十分重要的。

4. 随机化算法

通过打乱输入，去除算法对输入的依赖。

5. 均摊分析

将所有操作的总成本除于操作总数来将成本均摊。例如对一个空栈进行 N 次连续的 push() 调用需要访问数组的次数为 N+4+8+16+…+2N=5N-4（N 是向数组写入元素的次数，其余都是调整数组大小时进行复制需要的访问数组次数），均摊后访问数组的平均次数为常数。

ThreeSum

ThreeSum 用于统计一个数组中和为 0 的三元组数量。

public interface ThreeSum {int count(int[] nums);
}

1. ThreeSumSlow

该算法的内循环为 if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) 语句，总共执行的次数为 N(N-1)(N-2) = N³/6-N²/2+N/3，因此它的近似执行次数为 ~N³/6，增长数量级为 O(N³)。

public class ThreeSumSlow implements ThreeSum {@Overridepublic int count(int[] nums) {int N = nums.length;int cnt = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = i + 1; j < N; j++) {for (int k = j + 1; k < N; k++) {if (nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0) {cnt++;}}}}return cnt;}
}

2. ThreeSumBinarySearch

将数组进行排序，对两个元素求和，并用二分查找方法查找是否存在该和的相反数，如果存在，就说明存在和为 0 的三元组。

应该注意的是，只有数组不含有相同元素才能使用这种解法，否则二分查找的结果会出错。

该方法可以将 ThreeSum 算法增长数量级降低为 O(N²logN)。

public class ThreeSumBinarySearch implements ThreeSum {@Overridepublic int count(int[] nums) {Arrays.sort(nums);int N = nums.length;int cnt = 0;for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = i + 1; j < N; j++) {int target = -nums[i] - nums[j];int index = BinarySearch.search(nums, target);// 应该注意这里的下标必须大于 j，否则会重复统计。if (index > j) {cnt++;}}}return cnt;}
}

public class BinarySearch {public static int search(int[] nums, int target) {int l = 0, h = nums.length - 1;while (l <= h) {int m = l + (h - l) / 2;if (target == nums[m]) {return m;} else if (target > nums[m]) {l = m + 1;} else {h = m - 1;}}return -1;}
}

3. ThreeSumTwoPointer

更有效的方法是先将数组排序，然后使用双指针进行查找，时间复杂度为 O(N²)。

同样不适用与数组存在重复元素的情况。

public class ThreeSumTwoPointer implements ThreeSum {@Overridepublic int count(int[] nums) {int N = nums.length;int cnt = 0;Arrays.sort(nums);for (int i = 0; i < N - 2; i++) {int l = i + 1, h = N - 1, target = -nums[i];while (l < h) {int sum = nums[l] + nums[h];if (sum == target) {cnt++;l++;h--;} else if (sum < target) {l++;} else {h--;}}}return cnt;}
}

倍率实验

如果 T(N) ~ aN^blogN，那么 T(2N)/T(N) ~ 2^b。

例如对于暴力的 ThreeSum 算法，近似时间为 ~N³/6。进行如下实验：多次运行该算法，每次取的 N 值为前一次的两倍，统计每次执行的时间，并统计本次运行时间与前一次运行时间的比值，得到如下结果：

N	Time(ms)	Ratio
500	48	/
1000	320	6.7
2000	555	1.7
4000	4105	7.4
8000	33575	8.2
16000	268909	8.0

可以看到，T(2N)/T(N) ~ 2³，因此可以确定 T(N) ~ aN³logN。

public class RatioTest {public static void main(String[] args) {int N = 500;int loopTimes = 7;double preTime = -1;while (loopTimes-- > 0) {int[] nums = new int[N];StopWatch.start();ThreeSum threeSum = new ThreeSumSlow();int cnt = threeSum.count(nums);System.out.println(cnt);double elapsedTime = StopWatch.elapsedTime();double ratio = preTime == -1 ? 0 : elapsedTime / preTime;System.out.println(N + "  " + elapsedTime + "  " + ratio);preTime = elapsedTime;N *= 2;}}
}

public class StopWatch {private static long start;public static void start() {start = System.currentTimeMillis();}public static double elapsedTime() {long now = System.currentTimeMillis();return (now - start) / 1000.0;}
}