石子合并问题 GarsiaWachs算法

目录引入

一个较为朴素的算法

GarsiaWachs算法

引入

在一个操场上摆放着一排 \(N\) 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的 \(2\) 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试设计一个算法，计算出将 \(N\) 堆石子合并成一堆的最小得分。

数据范围 \(n \le 4e4\)

一个较为朴素的算法

不是暴力

按照区间DP的思路来做

设 \(f_{i, j}\) 表示区间 \([i, j]\) 合并的最小得分，枚举一个端点 \(k\)，那么有转移方程：(其中 \(a\) 数组是预处理后的前缀和)

\[f_{i, j} = \min \{ f_{i, j}, f_{i, k} + f_{k + 1, j} + a_j - a_{i - 1} \}

\]

注意 \(i\) 要倒序枚举，\(j\) 要正序枚举

答案就是 \(f_{1, n}\)

时间复杂度： \(O(n^3)\)；空间复杂度：\(O(n^2)\)

Code

/*

Work by: Suzt_ilymics

Knowledge:

Time: O()

*/

#includeiostream

#includecstdio

#includecstring

#includealgorithm

#define LL long long

#define orz cout"lkp AK IOI!"endl

using namespace std;

const int MAXN = 22335;

const int INF = 1e9+7;

const int mod = 1e9+7;

int n;

int a[MAXN];

int f[MAXN][MAXN];

int read(){

int s = 0, f = 0;

char ch = getchar();

while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();

while(isdigit(ch)) s = (s 1) + (s 3) + ch - '0' , ch = getchar();

return f -s : s;

}

int main()

{

n = read();

for(int i = 1; i = n; ++i) a[i] = read() + a[i - 1];

for(int i = n; i = 1; --i){

for(int j = i; j = n; ++j){

if(i == j) continue;

f[i][j] = INF;

for(int k = i; k j; ++k) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + a[j] - a[i - 1]);

}

}

printf("%d\n", f[1][n]);

return 0;

}

GarsiaWachs算法

发现数据范围太大了，上面的算法已经不能满足我们的需求，这里有一种优化算法，专门用来解决石子问题

每次操作，从前向后找一个最小的 \(k\)，使其满足 \(a_{k - 1} \le a_{k + 1}\)，然后合并 \(a_{k - 1}\) 和 \(a_k\)

从 \(k\) 开始向前找到第一个 \(j\) 使得 \(a_j a_{k - 1} + a_k\)，并将合并后的新值插入位置 \(j\) 后面

进行 \(n - 1\) 次结束，在合并过程中统计答案即可

时间复杂度：\(O(n^2)\)；空间复杂度：\(O(n)\)

正确性证明：作为一个OI，会应用就好啦，其实是我不会

Code

/*

Work by: Suzt_ilymics

Knowledge:

Time: O()

*/

#includeiostream

#includecstdio

#includecstring

#includealgorithm

#includevector

#define LL long long

#define orz cout"lkp AK IOI!"endl

using namespace std;

const int MAXN = 1e5+5;

const int INF = 1e9+7;

const int mod = 1e9+7;

LL n, ans = 0;

vectorint a;

int read(){

int s = 0, f = 0;

char ch = getchar();

while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();

while(isdigit(ch)) s = (s 1) + (s 3) + ch - '0' , ch = getchar();

return f -s : s;

}

int merge(){//GarsiaWachs算法

int k = a.size() - 2;

for(int i = 0; i a.size() - 2; ++i)

if(a[i] = a[i + 2]){

k = i; break;

}

int sum = a[k] + a[k + 1];

a.erase(a.begin() + k);

a.erase(a.begin() + k);

int inst = -1;

for(int i = k - 1; i = 0; --i)

if(a[i] sum){

inst = i; break;

}

a.insert(a.begin() + inst + 1, sum);

return sum;

}

int main()

{

n = read();

for(int i = 1; i = n; ++i) a.push_back(read());

for(int i = 1; i n; ++i) ans += merge();

printf("%lld", ans);

return 0;

}

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