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一. 定义
1.1 图的基本概念
图或有序对或序偶（P1）、有限图/平凡图/非平凡图/空图（P1）、顶点数或阶数/边数/重数/重边/环（P1）、简单图/复合图（P1）、相邻（P2）、相关联（P2）、同构
注意：
1. 图的四种二元运算（（PPT13-8例2）。）后得到的新图的点数和边数（P9，注意：积图是合成图的子图）
2. 偶图不能有环，偶图可以有重边。
3. 无限图也是大量存在的，比如正整数集合上的“整除关系”图就是一个无限图。
4. 对于“补图”的概念要注意：只有简单图才能定义补图。对于“自补图”，并不是任意一个简单图都是自补图。
5. 一个图的度序列与序列中的元素排列无关，给定一个图，只对应唯一一个度序列，同构的图具有相同的度序列。
6. 图的积运算是网络构造的常用方法。并行计算机中的网络拓扑常采用所谓的“超立方体”结构。采用该结构可使网络具有较好的可靠性、较小的通信延迟和很好的可扩展性以及便于并行编程等优点。
1.2 树
树（P31，PPT6-5的例1, 一个点也是树）、森林（P31）、树叶（P31）、分支点（P31）、平凡树（P31）、最小连通图（P33）、离心率（P34）、半径（P34）、直径（P34）、中心点（P34）、中心（P34, 比如社区医院的修建位置上就可以建在图的中心）、分支（P34）、权（P34）、形心点（P34）、形心（P34）、生成树（P35）、生成森林（P35）、树枝（P35）、弦（P35）、基本回路（P38）、基本回路系统（P38）、最小生成树（P40）
根树（P217）、树根（P217）、树叶（P217）、内点（P217）、分支点（P217）、层数（P217）、高（P217）、祖先（P218）、父亲（P218）、儿子（P218）、兄弟（P218）、有序树（P218）、外向树（P218）、内向树（P218）、m元树（P218）、m元完全树（P218）、最优二元树（P221，P221例5）、前缀（P224，P224例7和例8）
注意：
1. 要会联系概念，并对概念有一定深度的理解。比如“树不一定是偶图”，因为树里面还有平凡树，平凡树不是偶图。但如果说“非平凡树一定是偶图”就是正确的。
2. 树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。
1.3 图的连通度
割边（P46）、割点（P46）、块（P47，及P47的例2, PPT9-14的例5）、块割点树（PPT9-19, 其为了直观反映图的块和割点之间的联系, PPT9-19的例6）、顶点割或点割（P50）、最小点割（P50，P50例1）、连通度
注意：
1. 图的连通程度的高低，是图结构性质的重要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。
2. 对于割点的定义：当且仅当，其前提是
无环且非平凡。
拓展：
1. 描述连通性的其它参数，包括图的坚韧度、图的核度等，参见PP10-20起。
2. 图的宽直径相关概念，参见PPT11-12起。用来度量网络的传输延迟。
1.4 Euler图与Hamilton图
Euler闭迹 / Euler图（P70，欧拉闭迹又称为欧拉环游或欧拉回路, 欧拉图简称为E图）、Euler迹 / 半Euler图（P69/ P70）、最优环游（P76）、Hamilton路 / Hamilton图（P78，哈密尔顿路简称H路，哈密尔顿图也简称H图）、Hamilton圈（P78）、闭图（P80）、闭包（P81和构造算法）、度极大非Hamilton图族（P84,定义为
注意：
1. 对于闭图的概念，要注意逻辑，如果没有的点，则也是闭图。
2. 注意度极大非H图族中有个范围的哦！这样就不用画那么多啦！
3. 如何理解“从表面上看， E图与H图间没有联系“？因为我们可以不费力地找到: (1) E图但非H图； (2) E图且H图； (3) H图但非E图; (4) 非E图且非H图（这里就要注意逻辑了！就像量子力学波函数的奇怪之处，当时也是穷举了所有的逻辑也找不出）。为了联系它们，于是引入了“线图”，目的是为了从线图的角度考虑E图与H图。线图有如下性质：（1）若是
的边，则
作为
的顶点度数为
；（2）若
，则线图
边数为
; (3) 一个图同构于它的线图，当且仅当它是圈；(4) 若图
和
有同构的线图，则除了一个是
而另一个是
外，
和
PPT16-25起。同构。关于它们的证明参见
4. 对于图的线图和细分图，有
。
1.5 匹配与因子分解
匹配（P100, 又称为对集或边独立集, 注意不含环哦！）、M饱和点/M非饱和点（P100）、完美匹配（P100，PPT17-21例2(2)）、最大匹配（P100）、M交错路（P100）、M可扩充路（P100, PPT17-9, 要会找）、S的邻集或邻域
注意：
1. 对于匹配问题，不要一开始就默认把它按照偶图来想象。注意：(1) 一个图不一定有完美匹配，若有，则每个完美匹配都是最大匹配（注意完美匹配和最大匹配的关系）;(2)一个图的最大匹配和完美匹配(若存在)偶不一定唯一。
2. 对于M饱和点/M非饱和点，要等划分好匹配后才能确定，而且划分的方法可以不止一种，因此同一个点也可以有多种情况。
3. M可扩路在匹配扩大过程中起到很大的作用，给予它可以扩充匹配。
4. 若有一个1-因子（其边集为完美匹配），则显然
是偶阶图。特别地，
不能有1-因子，但
有一因子。这样将完美匹配和1-因子分解联系了起来（P117-3）。
5. 图的一个一因子实际上就是图的一个完美匹配的导出子图。一个图能够作一因子分解，也就是它能够分解为若干边不重的完美匹配的导出子图之并。
1.6 平面图
可嵌入平面（或可平面图）/ 一种平面嵌入 / 平面图（P119）、面/ 外部面（或无限面）（P120, 面组成的集合用
注意：
1. PPT20-4至8举例说明了研究本章内容在实际生活中的应用价值。
2. 平面图及其偶图的一些性质：(1)的点数=
的面数；(2)
的边数=
的边数；(3)
的面数=
的点数；(4)
。
3. 对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入，使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可以说明。且要知道：设G是一个连通简单外可平面图，则在G中存在度数至多是2的顶点。
补充：
1. 涉及平面性的不变量，即如何刻画一个非可平面图与平面图之间的差距，参见PPT22-21起。
1.7 图的着色
k边着色/ 色集/ 边着色是正常的（P147）、边色数
注意：
1. PPT24-4和PPT25-3分别举例说明了本章内容在现实中的应用价值。对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。
2. 色多项式是对于点着色而言的，且表示“最多”用k种颜色。用色多项式计算时的核心套路就是递推，其递推公式为
，其递推之母为
和
。
1.8 Ramsey定理
点独立集/最大独立集/独立数
注意：
1.，
，
，
PPT28-10的例1。要会求，参见
2. 有临界边的图必有
临界点，但有
临界点的图不一定有
临界边。
补充：
1. 拉姆齐数的计算很难，所以研究拉姆齐数的上下界是该问题的主题。综述的一些结果参见PPT28-20起。
1.9 有向图
有向图 (PPT29-3, 用三元组定义)、始点/终点（P209）、重数（PPT29-4）、基础图（P209）、定向图（P209, PPT29-7的例1）、出度
二. 定理
2.1 图的基本概念
1. 若
2. 图
推论1：在任何图中，奇点个数为偶数。（P4证明）
推论2：正则图的阶数和度数不同时为奇数。（P4证明）
3. 设有非负整数组
图序列判断充要条件： 非负整数组，
，
是图序列的充分必要条件是
。（该定理只能做判断，定理证明比较困难。
4. 一个简单图
5. 一个
6. 简单图
7. 若图
8. (偶图的判定定理) 一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈。（P10-11证明）
9. 代数图论的相关定理：
(1）
(2) 令
推论：设为简单图
的邻接矩阵，则 (a)
的元素
是
的度数，
的元素
是含
的三角形的数目的两倍；(b) 若
是连通的，对于
，
与
之间的距离是使
的
的最小整数
。
(3)
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