参考文献：

(GTM171)Peter《Riemannian Geometry》，Richard Mikula《Notes on the Yamabe Flow》，夏青《曲面上的预定高斯曲率问题》.

我声明以下内容我亲自验算过，在文章后面我会给出我的部分验算手稿.

设

是

维紧致可定向黎曼流形，以下均满足Einstein求和约定

其中

，称

是第二型Christoffel记号，即满足

设

型曲率张量系数是

一个与黎曼度量

共形的度量

是

其中

是

的非常数的光滑函数.

以下讨论旨在证明共形黎曼度量

下的数量曲率公式

其中

当

时，高斯曲率公式

由以下公式确定

证明：设共形度量

下的第二型Christoffel记号是

，曲率张量系数是

.此时任取点

方便起见，在点

处邻域

取测地法坐标，即满足

此时曲率张量系数满足

计算

：

其中哑指标

的最多为

. 由

可知

其中

做完全类似的运算可知

那么此时有

上式两边乘

可得

当

时有

此时

此即

当

时，由高斯曲率

可知

以下是我的部分手稿：