c++ 圆上任意点坐标计算_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算(空间平面和直线)...

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一、向量

1、简单的高中那些就不说了....

2、左右手系:

右手系:将右手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为右手系。

左手系:将左手四指(拇指除外)从x轴方向以小于π的角度弯向y轴方向,如果拇指所指的方向为z轴的方向,则称此坐标系为左手系。

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3、单位向量的方向:设向量

,p的长度为
,则它的单位向量可以表示为

所以向量投影的定义为:

其中方向余弦是:

三个方向余弦的平方和等于1,

4、向量的内积:两个向量a和b的内积记作

,定义为下面的实数,
,若a与b中有一个为0的向量,则

其中:

5、对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,有

(1)若

,则

(2)

(3)

(4)

6、向量的外积:

(1)定义:两个向量a与b的外积记作

,它仍是一个向量,将其长度规定为:
,它的方向规定为与a,b均垂直,并且使
成右手系。

(2)性质:

①若a,b中有一个为0,则a×b=0。

②a×b=0的充分必要条件是a与b共线

外积的几何意义:当a与b不平行时,

表示以a和b为领边的平行四边形的面积。

(3)外积的计算性质:对于任意的向量a,b,c,以及任意实数λ,外积有

;②
;③

(4)外积的计算:设

为了方便记忆可以写成:

9e01e35d5f06e7af5941bb60ab401843.png

7、向量的混合积:

(1)定义:三个向量a,b,c的混合积记作(a,b,c),它是一个数,规定

(2)几何意义:以三个非零向量a,b,c为棱作一个平行六面体,其底面积为|a×b|,高为

,其中θ为c与a×b的夹角。于是该平行六面体的体积为

(3)在空间直角坐标系中建立混合积的坐标表达式:

从而有:

30a967ace94b716af5b50a241f915d27.png

注意,有的地方是写成

720de093c0e08ca29764342e1067bbbc.png

此时他们定义的混合积是:

二、空间平面及其方程

1、平面的点法式方程:π平面的法向量

是π平面上的一点,因此其
平面方程为:

(其实很简单,记住原理使法向量和平面上的一条向量垂直就可以了)

2、平面一般式方程

,其中
,这个方程称为平面的一般式方程

(1)设C≠0,则方程可以化成:

对照平面的点法式方程,我们可以知道这是一个
法向量的平面。

(2)特点:

D=0时,方程表示一个过原点的平面。

当D≠0时,若A,B,C中只有一个为零,则平面平行于某个坐标轴

(如只有C=0时,平面的法向量与z轴垂直,因此平面平行于z轴)

③当D≠0时,若A,B,C中只有一个不为零,则平面平行于某坐标面

(如只有A≠0,则平面的法向量平行于x轴,因此平面平行于yOz面

3、平面的截距式方程:当abc≠0时,平面

x、y、z轴上的截距分别为a、b、c,因此这种形式的平面称为平面的截距式方程。

4、平面的三点式方程:用三点可以确定一个平面,三个点都在这个平面上面,设

。则这三个点构成的三个向量他们的混合积等于0,所以得到方程

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5、两平面间的关系设两个平面:

结论:

(1)两个平面重合

(2)两个平面平行

(3)两个平面相交

6、同轴平面束:经过同一条直线所有平面的集合叫做同轴平面束。

设l为平面π1和平面π2的交线,则可以设λ1和λ2,就可以得到

直线l为轴平面束方程:

三、空间直线及其方程

1、直线的点向式方程(或者叫直线的对称式方程):

,向量
是l的方向向量,
所以P(x,y,z)在l上
向量P0P平行于s

则有

。此方程称为直线的点向式方程。

2、直线的一般式方程:当

时,由方程组确定:

a2e22ba7d8bffa62c13e0eb61beb2859.png

3、直线与直线的关系:设两条空间直线:

分析:l1过点

,方向向量

l2过点

,方向向量

两直线固定点的向量P1P2为:

(1)共面与异面的判断:s1、s2、P1P2的混合积为0

共面,否则两直线异面。

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(2)共面后判断是否重合、平行、相交

①两直线重合

②两直线平行

且不平行于向量

③两直线相交

三个向量共面但s1与s2不平行

四、直线与平面的关系,点和直线和平面的关系

1、直线与平面的关系:

,
.

记s为l的方向向量

;π的法向量为

(1)l在π上

s
垂直于n,且点
满足平面π的方程

(2)l与π平行

方向向量s与n垂直,但是点
不满足平面π的方程

(3)l与π相交

方向向量s与n
不垂直

(4)l与π垂直

s//n(即
s×n=0

2、直线与平面相互之间的夹角(都是锐角)

l1、l2的方向向量分别为s1,s2。平面π1和π2的法向量分别为n1和n2。

(1)两条直线的夹角:s1和s2的夹角为θ,把

(因为两直线的夹角一定为锐角)称为两直线的夹角。

(2)两个平面的夹角:n1与n2的夹角是θ,把

(因为平面的夹角一定为锐角)称为平面的夹角的夹角。

(3)平面与直线的夹角:设s1和n1的夹角为θ,把

称为直线l1与平面π1的夹角。有

3、距离问题:

(1)点到直线的距离:

是空间一定点,过点
且方向向量为s的直线用
表示;点P0到l的距离用
表示。

设θ为向量s与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到有

又因为从外积公式得到

所以

1e14b67734aacbe7021989344cafd13a.png

(2)点到平面的距离:

是空间一定点,过点
且法向量n的平面用
表示;点P0到l的距离用
表示。

设θ为向量n与向量P1P0的夹角,则从图中可以得到,

内积公式可以得到

所以可以得到:

bf0af16036541d5f96bf85f05de6633a.png

(对于π平面的方程为:Ax+By+Cz+D=0,

则公式为

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