【数学建模】day02-整数规划

基本类似于中学讲的整数规划--线性规划中变量约束为整数的情形。

目前通用的解法适合整数线性规划。不管是完全整数规划(变量全部约束为整数)，还是混合整数规划(变量既有整数又有实数)，MATLAB都提供了通用的求解函数。

一、0-1型整数规划

这类规划将变量限制为0和1，有时候多个规划问题可以通过引入0-1变量将问题统一在一个规划问题中讨论。例如：

拥有相互排斥的规划约束：

一般的，

二、0-1整数规划的一个解法：隐枚举法

因为变量的取值是取0-1的，所以可以枚举所有取值求得极大/极小值。例如，求解

（1）试探一个可行解(x1,x2,x3)=(1,0,0)，相应的目标函数值是3。暂做最优解。

（2）继续试探其他可行解。倘若目标函数值小于3则不考虑，这相当于增加了目标大于等于3的又一个约束。否则目标函数值大于3，则新的可行解暂做最优解，更新当前最优目标函数值，重复（2）。

（3）直到：枚举完所有可行解。

三、固定费用问题

举例说明这类问题是：有三种产品投资方式，相应增加A产品投资会使得A的固定成本上升，而由于产品产量增加使得单个产品费用下降，问如何投资使得成本最低。

解决这个问题的一个方法可以是：列成本函数，引入0-1变量统一到一个规划问题中。具体求解不赘述。

四、非线性整数规划的一个方法：蒙特卡洛法

尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。

当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下（这里指蒙特卡罗法随机抽取可行点求解近似解），完全可以得出一个满意解。

所谓蒙特卡洛法（随机取样），是指对于计算量过大的问题，通过随机取样计算部分，而非整体，来降低计算量的方法。这通常是近似解，但概率统计的方法证明，这是可靠的。

蒙特卡洛的应用实例。

（1）计算面积：计算y=x^2,y=12-x与x轴在第一象限围城的曲边三角形的面积。

方法：利用蒙特卡罗法。在矩形(0,0),(0,9),(12,9),(12,0)中随机生成n个点，统计落在曲边三角形内的点个数，计算频度即为曲边三角形与矩形的面积之比。
使用matlab生成一维均匀分布随机数：R = unifrnd(A,B)：生成区间(A,B)内的随机数，A，B可以是向量。R = unifrnd(A,B,M,N)：生成区间(A,B)内的M*N个随机数。R = unifrnd(A,B,[M,N])：同上。生成二维均匀分布随机数则由一维组合而成。
matlab实现：
1 clc,clear
2  x = unifrnd(0,12,1,10000000);
3  y = unifrnd(0,9,1,10000000);
4  pinshu = sum(y<x.^2 & x<=3) + sum(x>3 & y <12-x);
5  area = pinshu/10000000*12*9;
6  area
（2）一个非线性规划蒙特卡洛求解实例
使用：产生随机数种子：为了防止相同状态开始会产生相同的伪随机数（特别是程序中有loop）1. rand('state',sum(100*clock)):根据当前时间，已经不推荐使用2. rand('twister',mod(floor(now*8640000),2^31-1))：也可以3. rng命令
注：

实现：

先定义函数：
 1 function [f,g] = mente(x)
 2  f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)
 3 
 4 -x(4)-2*x(5); 
 5  g=[sum(x)-400 
 6 
 7 x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800 
 8 
 9 2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200 
10 
11 x(3)+x(4)+5*x(5)-200]; 
再求解：
 1 clc,clear
 2  rand('state',sum(clock));
 3  p0 = 0;
 4  tic
 5  for i = 1:10^6
 6      x = 99*rand(5,1); %rand(5,1)生成5行1列0-1上的均匀分布随机数
 7      x1 = floor(x);
 8      x2 = ceil(x);
 9      [f,g] = mente(x1);
10      if sum(g<=0) == 4
11          if p0 <= f
12              x0 = x1;
13              p0 = f;
14          end
15      end
16      [f,g] = mente(x2);
17      if sum(g<=0)==4
18          if p0<=f
19              x0 = x2;
20              p0 = f;
21          end
22      end
23  end
24  x0
25  p0
26  toc
五、指派问题

分配n人去做n个任务，每人做且只做一项任务。第i个人做第j项任务，花费cij时间。问如何分配人去做任务，使得总时间花费最少。

可以看出，花费cij构成矩阵，称为指派矩阵。引入0-1变量矩阵n*n，则该矩阵每行每列只有一个1，其余为0，为1代表i做任务j，转化为一个整数规划问题。

匈牙利算法可解。

六、整数规划的matlab通用解法

函数：

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

param：

　　f：目标函数系数列向量

　　intcon：整数变量的地址，如变量有x1,x2,x3,若x2,x3为整数变量，则intcon = 2:3

　　A，b对应不等约束

　　Aeq，beq对应等式约束

　　lb，ub对应边界约束

return:

　　x：取得最优值的对应变量取值

　　fval：最优值。同理，这是求标准型即min，若求max则目标函数求反

求解实例：

（1）求解指派问题：已知指派矩阵为
 1 clc,clear
 2  c = [3 8 2 10 3;
 3      8 7 2 9 7;
 4      6 4 2 7 5;
 5      8 4 2 3 5;
 6      9 10 6 9 10];
 7  c = c(:);
 8  a = zeros(10,25);
 9  intcon = 1:25;
10  for i = 1:5   
11  %这是把二维矩阵转换成一维，要满足一个人只做一个任务，一个任务只被一个人做的等式条件,共5*2个条件
12       a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;    
13       a(5+i,i:5:25)=1; 
14  end
15  b = ones(10,1);
16  lb = zeros(25,1);
17  ub = ones(25,1);
18  [x,y] = intlinprog(c,intcon,[],[],a,b,lb,ub);
19  x = reshape(x,[5,5])
也就是相应C矩阵，取xij1则对应i做任务j。

（2）求解混合整数规划问题

　　min z = –3x1 –2x2 – x3

　　s.t.

　　　　x1 + x2 + x3 <=7,

　　　　4x1 + 2x2 + x3 =12,

　　　　x1,x2 >=0

　　　　x3 = 0或1

分析知，只有x3是0-1整数变量，则intcon = 3

求解：
 1 clc,clear
 2  f = [-3;-2;-1];
 3  A = [1,1,1];
 4  b = 7;
 5  Aeq = [4,2,1];
 6  beq = 12;
 7  lb = zeros(3,1);
 8  ub = [inf;inf;1];
 9  intcon = 3;
10  [x,y] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
11  x
12  y