[Leedcode][JAVA][第300题][最长上上子序列][动态规划][压缩空间]

【问题描述】[中等]

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。示例:输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

【解答思路】

1. 动态规划

在这里插入图片描述

时间复杂度：O(N^2) 空间复杂度：O(N)

import java.util.Arrays;public class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int len = nums.length;if (len < 2) {return len;}int[] dp = new int[len];Arrays.fill(dp, 1);for (int i = 1; i < len; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}}int res = 0;for (int i = 0; i < len; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);}return res;}
}

2. 动态规划压缩空间（贪心+二分）

在这里插入图片描述

时间复杂度：O(NlogN) 空间复杂度：O(N)

public class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int len = nums.length;if (len <= 1) {return len;}// tail 数组的定义：长度为 i + 1 的上升子序列的末尾最小是几int[] tail = new int[len];// 遍历第 1 个数，直接放在有序数组 tail 的开头tail[0] = nums[0];// end 表示有序数组 tail 的最后一个已经赋值元素的索引int end = 0;for (int i = 1; i < len; i++) {// 【逻辑 1】比 tail 数组实际有效的末尾的那个元素还大if (nums[i] > tail[end]) {// 直接添加在那个元素的后面，所以 end 先加 1end++;tail[end] = nums[i];} else {// 使用二分查找法，在有序数组 tail 中// 找到第 1 个大于等于 nums[i] 的元素，尝试让那个元素更小int left = 0;int right = end;while (left < right) {// 选左中位数不是偶然，而是有原因的，原因请见 LeetCode 第 35 题题解// int mid = left + (right - left) / 2;int mid = left + ((right - left) >>> 1);if (tail[mid] < nums[i]) {// 中位数肯定不是要找的数，把它写在分支的前面left = mid + 1;} else {right = mid;}}// 走到这里是因为 【逻辑 1】 的反面，因此一定能找到第 1 个大于等于 nums[i] 的元素// 因此，无需再单独判断tail[left] = nums[i];}// 调试方法// printArray(nums[i], tail);}// 此时 end 是有序数组 tail 最后一个元素的索引// 题目要求返回的是长度，因此 +1 后返回end++;return end;}// 调试方法，以观察是否运行正确private void printArray(int num, int[] tail) {System.out.print("当前数字：" + num);System.out.print("\t当前 tail 数组：");int len = tail.length;for (int i = 0; i < len; i++) {if (tail[i] == 0) {break;}System.out.print(tail[i] + ", ");}System.out.println();}public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{3, 5, 6, 2, 5, 4, 19, 5, 6, 7, 12};Solution solution = new Solution8();int lengthOfLIS = solution8.lengthOfLIS(nums);System.out.println("最长上升子序列的长度：" + lengthOfLIS);}
}

【总结】

1.子序列和子串

在这里插入图片描述

2.动态规划（高度概括）

第 1 步：设计状态
第 2 步：状态转移方程
第 3 步：考虑初始化
第 4 步：考虑输出
第 5 步：考虑是否可以状态压缩

3.动态规划（详细说明）

1、思考状态（重点）

状态的定义，先尝试「题目问什么，就把什么设置为状态」；
然后思考「状态如何转移」，如果「状态转移方程」不容易得到，尝试修改定义，目的依然是为了方便得到「状态转移方程」。
「状态转移方程」是原始问题的不同规模的子问题的联系。即大问题的最优解如何由小问题的最优解得到。

2、思考状态转移方程（核心、难点）

状态转移方程是非常重要的，是动态规划的核心，也是难点；

常见的推导技巧是：分类讨论。即：对状态空间进行分类；

归纳「状态转移方程」是一个很灵活的事情，通常是具体问题具体分析；

除了掌握经典的动态规划问题以外，还需要多做题；

如果是针对面试，请自行把握难度。掌握常见问题的动态规划解法，理解动态规划解决问题，是从一个小规模问题出发，逐步得到大问题的解，并记录中间过程；

「动态规划」方法依然是「空间换时间」思想的体现，常见的解决问题的过程很像在「填表」。

3、思考初始化

初始化是非常重要的，一步错，步步错。初始化状态一定要设置对，才可能得到正确的结果。

角度 1：直接从状态的语义出发；

角度 2：如果状态的语义不好思考，就考虑「状态转移方程」的边界需要什么样初始化的条件；

角度 3：从「状态转移方程」方程的下标看是否需要多设置一行、一列表示「哨兵」（sentinel），这样可以避免一些特殊情况的讨论。

4、思考输出

有些时候是最后一个状态，有些时候可能会综合之前所有计算过的状态。

5、思考优化空间（也可以叫做表格复用）

「优化空间」会使得代码难于理解，且是的「状态」丢失原来的语义，初学的时候可以不一步到位。先把代码写正确是更重要；
「优化空间」在有一种情况下是很有必要的，那就是状态空间非常庞大的时候（处理海量数据），此时空间不够用，就必须「优化空间」；
非常经典的「优化空间」的典型问题是「0-1 背包」问题和「完全背包」问题。