输入：台阶数量n
输出：有多少种走法
规则：每次可以上一个台阶或者两个台阶
分析：想明白一件事情。如果现在在第k个台阶，那下一步可以到达第k+1个台阶，或者第k+2个台阶。换句话说想要到达第k个台阶，可以通过第k-1或者第k-2个台阶达到。所以第k个台阶的走法=第k-1个台阶的走法+第k-2个台阶的走法。

再用比较小的数检测一下对不对。
如果有1个台阶，有1种走法：1。
如果有2个台阶，有2种走法：1，1；2。
如果有3个台阶，可以从第2个台阶，再走1个到达3，也可以从第1个台阶，再走2个到达3。所以nums[3]=nums[2]+nums[1]=2+1=3。实际上也是：1，1，1；2，1；1，2；。
如果有4个台阶，可以从第3个台阶，再走1个到达4，也可以从第2个台阶，再走2个到达4。所以nums[4]=nums[3]+nums[2]=3+2=5。实际走法：1，1，1，1；2，1，1；1，2，1（从第3个台阶 ）
1，1，2；2，2（从第2个台阶 ）
验证正确。可以编码了。

以下代码从回溯、备忘录模式、动态规划、节省空间版的动态规划。不做详细介绍，直接看代码。

/*** 暴力* @param n* @return*/public int climbStairs(int n) {if(n==0) return 0;if(n==1) return 1;if(n==2) return 2;return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);}/*** 备忘录模式* @param n* @return*/public int climbStairsV2(int n) {int[] memo = new int[n+1];climbStairs(n,memo);return memo[n];}private int climbStairs(int n,int[] memo){if(n==0) return 0;if(memo[n]>0) return memo[n];if(n<=2){memo[n]=n;return memo[n];}memo[n] = climbStairs(n-1,memo)+climbStairs(n-2,memo);return memo[n];}/*** 动态规划：自底向上* @param n* @return*/public int climbStairsV3(int n) {if(n==1) return 1;int[] dp = new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}/*** 节省内存的动态规划，但实际LeetCode反馈出来的内存并不少* @param n* @return*/public int climbStairsV4(int n) {if(n==1) return 1;int num1 =1;int num2 =2;int num3=0;for(int i=3;i<=n;i++){num3=num1+num2;num1=num2;num2=num3;}return num2;}

还有第五种解法，利用矩阵乘法。先看菲波那切数列中：0，1，1，2，5，8…
我们利用以下公式：
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\\ F_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}$$
可以求得第n个斐波那契数列的值。使用数学归纳法证明。
我们当前题目与斐波那契数列的不同是起始值不同，我们的序列是：0，1，2，3，5，8，13…所以我们求第n个值使用的公式是：

$$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\\ F_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}(n>1)$$

我们看到两个公式不一样的地方是初始化值不同。

public int climbStairsV5(int n) {if(n<=2) return n;int[][] q = {{1,1},{1,0}};int[][] p = {{2,1},{1,0}};int[][] res = pow(q,n-2);res = multiply(p,res);return res[0][0];}private int[][] pow(int[][] a,int n){if(n<=1){return a;}a = pow(a,n/2);a = multiply(a,a);if(n%2!=0){int[][] ret = {{1,1},{1,0}};a = multiply(ret,a);}return a;}private int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {int[][] c = new int[2][2];c[0][0] = a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];c[0][1] = a[0][0]*b[0][1] + a[0][1]*b[1][1];c[1][0] = a[1][0] * b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];c[1][1] = a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];return c;}

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