文章目录
- 1题目理解
- 2 思路分析
- 2.1二分思路
- 2.2计算小于等于middle值的个数
- 3 拓展解决leetcode 668
1题目理解
输入：一个nxn的矩阵，每一行从左到右按照升序排列，每一列从上到下按照升序排列。一个整数k。
输出：这个矩阵中第k小的数。
规则：矩阵中数字可能重复，输出结果，应该排序后的第k个数。
例如
matrix = [
[ 1, 5, 9],
[10, 11, 13],
[12, 13, 15]
],
k = 8
结果13
2 思路分析
来源于力扣官方分析，网址。
输入矩阵matrix，每一行可以看做是一个排序好的数组，可以将这几个小数组排序好之后取第k个数，即可。排序几个已经排序好的数组，可以参考leetcode23。时间复杂度O(klogn)。
因为同时每一列也是排序号的，考虑用二分查找实现。
2.1二分思路
返回值一定在matrix[0][0]到matrix[n-1][n-1]之间。令函数g(x)={matrix中小于等于x的数量}={#of(matrix[i][j]<=x)}。
g(x)是一个递增的函数，x越大，g(x)越大。
返回值是满足g(x)>=k，的最小值。
套用模板。
class Solution {public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {int n = matrix.length;int l = matrix[0][0];int r = matrix[n-1][n-1];while(l<=r){int middle = l + ((r-l)>>1);if(countSmallerOrEqual(matrix,middle,n)>=k){r = middle - 1;}else{l = middle + 1;}}return l;}
}
2.2计算小于等于middle值的个数
接下来的问题是如何数出<=middle<=middle<=middle的数量。
可以发现一个性质：任取一个数 midmid 满足 l≤mid≤rl\leq mid \leq rl≤mid≤r，那么矩阵中不大于 mid 的数，肯定全部分布在矩阵的左上角。
例如下图，取 mid=8：
从图中可以看到大于middle与小于等于middle的数被一条锯齿形状分成了2部分 。
我们可以从左下角开始遍历。
private int countSmallerOrEqual(int[][] matrix, int middle, int n){int i = n - 1;int j = 0;int num = 0;while(i>=0 && j<n){if(matrix[i][j]<=middle){num += i+1;j++;}else{i--;}}return num;}
时间复杂度O(nlog(r−l))。二分查找进行次数为O(log(r−l))O(log(r-l))O(log(r−l))，每次操作时间复杂度为 O(n)。
当然我们也可以每次遍历一个子数组，二分查找个数。
private int countSmallerOrEqual(int[][] matrix, int middle, int n){int num = 0;for(int i = 0;i<n;i++){int l = 0, r = n-1;while(l<=r){int m = l + ((r-l)>>1);if(matrix[i][m]>middle){r = m - 1;}else{l = m + 1;}}if(l>=0){num += l;}} return num;}
3 拓展解决leetcode 668
leetocde 668 Kth Smallest Number in Multiplication Table 与本题目非常类似。
每个人都知道乘法表。输入整数m，n表示m行n列的乘法表。在这个乘法表中找到第k小元素。
例如
Input: m = 3, n = 3, k = 5
Output: 3
Explanation:
乘法表是这样的:
1 2 3
2 4 6
3 6 9
The 5-th 小元素是 3 (1, 2, 2, 3, 3).
参考网址
这个乘法表与上面题目中的矩阵具有相同的性质：每一行，每一列都是有序的。同样也是要查找第k小元素，同样矩阵中是有重复元素的。把上面代码框架抄写一下。
class Solution {public int findKthNumber(int m, int n, int k) {int l = 1;int r = m*n;while(l<=r){int middle = l + ((r-l)>>1);if(countSmallerOrEqual(m,n,middle)>=k){r = middle - 1;}else{l = middle + 1;}}return l;}}
不同的地方是上提的矩阵是确定的，已经生成好的，而本题需要自己生成矩阵。
题目要求m， n 的范围是[1, 30000]，如果生成矩阵可能会引起内存不足。
当我们要计算有多少个数小于等于middle的时候，是不是可以不生成矩阵呢？
例如 m=3，n=3，middle=5，查找这个矩阵中有多少个值小于等于5。
对于第3行，是从1到3，依次乘以3，5/3=1，有1个元素小于等于5。
对于第2行，是从1到3，依次乘以2，5/2=2，有2个元素小于等于5。
对于第1行，是从1到3，依次乘以1，5/1=5，但是n=3 ，所以有3个元素小于等于5。
总小于等于5元素个数是1+2+3=6。由此可以看出，不需要生成矩阵，也可以计算。
private int countSmallerOrEqual(int m,int n,int middle){int num = 0;for(int i=1;i<=m;i++){num += Math.min(middle/i,n);}return num;}
