概率论的公理结构

样本点

一个随机事件出现的可能的结果叫做样本点。

类比平面几何,线、面、体也是由点组成的集合,研究的是点线面关系及性质,同样样本点也是组成事件(集合)的材料,是集合的基本元素,把这些样本点用各种形状组合起来形成集合,站在集合论的基础上讨论研究。

代数

\Omega是样本空间,\boldsymbol{F}是由\Omega的一些子集所构成集合簇,如果\boldsymbol{F}满足如下条件:

i) \Omega\in \mathbf{F}

ii) 若A\in \mathbf{F},则\overline{A}\in \mathbf{F}

iii) 若A_{i}\in \mathbf{F}(i=1,2,...n),则 \bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\in \mathbf{F}

则称\boldsymbol{F}为代数。

\sigma -代数

\Omega是样本空间,\boldsymbol{F}是由\Omega的一些子集所构成集合簇,如果\boldsymbol{F}满足如下条件:

i) \Omega\in \mathbf{F}

ii) 若A\in \mathbf{F},则\overline{A}\in \mathbf{F}

iii) 若A_{i}\in \mathbf{F}(i=1,2,...\infty ),则 \bigcup_{i=1}^{\infty } A_{i}\in \mathbf{F}

则称\boldsymbol{F}\sigma -代数。

容易证明,如果样本空间是有穷的,则它的任何代数也必是\sigma -代数。

可测空间

把任一样本空间\Omega,以及由\Omega的子集所组成的一个\sigma -代数\boldsymbol{F}写在一起,记为(\Omega , \mathbf{F}),称为具有\sigma -代数结构的样本空间,或简称为可测空间。

概率

(\Omega , \mathbf{F})是可测空间,对每一集A\in \mathbf{F},有一实数与之对应,记为P(A)(因此在\boldsymbol{F}上定义了一个集函数P),如它满足下面三个条件:

i) 对每一A\in \mathbf{F},有0\leqslant P(A) \leqslant 1

ii) 对必然事件\Omega,有P(A)=1

iii) (完全可加性)对任意A_{i} \in \mathbf{F}(i=1,2,...)A_{i} \bigcap A_{j} = \phi \ (i \neq j),恒有

                                       P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_{i})

则称实值集函数P(\Omega , \mathbf{F})上的概率,P(A)就称为事件A的概率。

上面几个概念的层次关系是:设\Omega是一样本空间,\bold{F}\Omega\sigma-代数,P\bold{F}上的概率,我们称具有上述结构的样本空间为概率空间,记为(\Omega, \bold{F}, P)

随机变量

(\Omega, \bold{F}, P)是一个概率空间,对于样本点\omega \in \Omega\xi(\omega)是一个取实值的单值函数;若对于任一实数x\left \{ \omega: \xi(\omega) < x \right \}是一随机事件,亦即\left \{ \omega: \xi(\omega) < x \right \} \in \bold{F},则称\xi(\omega)为随机变量。

一个随机事件的样本点可能是数量性质的,也可能是非数量性质的,为数学研究方便把样本点进行数值化,即在样本点到\mathbb{R}建立一个映射。

另外需要注意下面两个概念和上面的区别与联系:

测度空间

(\Omega , F)是一个可测空间的基础上,令\mu:F\rightarrow R^{+}且满足:

i)(非负性)对任意的A\in F,有\mu (A) \geqslant 0

ii)(规范性)\mu (\Phi )=0

iii)(可列可加性)对任意的两两不相交的集合A_{1},A_{2}...,有\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n)

则称\mu为可测空间(\Omega , F)上的测度,且称(\Omega , F, \mu)测度空间。

容易证明,概率空间是一种特殊测度空间,就是实值集函数的值范围是\left[0, 1 \right ],另外测度空间是在可测空间上定义一个测度,可测空间上还没有定义测度。

 

参考

  1. 《概率论及数理统计》第4版 中山大学;

 

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