1 问题

2 解决思路

使用递归树猜想一个上界，使用归纳法证明上界也是下界。

2.1 使用递归树（recursion tree）猜想结论（不严谨）

使用递归树两点：1⃣️逐行展开；2⃣️逐行相加；

逐行展开

本质上是分解问题，每个非叶子结点表示分解+合并问题所付出的代价，叶子结点表示解决边界问题所付出的代价。

逐层求和

这里要注意，除去非叶子结点，每一层的和呈现出等比数列性质，计算整个代价$T(n)$本质上就是分解（合并）问题付出的代价+解决递归边界付出的代价。

Case1:

分解问题的代价：


解决递归边界的代价：
$\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
取多项式最高次项，因此$T(n)=O(n^{lo{g}_{b}a})$;

Case2:

分解问题的代价：

解决递归边界的代价：
$\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
取多项式最高次项，因此$T(n)=O(n^{lo{g}_{b}a}lo{g}_{b}n)$;

Case3:

分解问题的代价：
根据假设容易得到



上面的不等号是渐进成立的，所以为了保证对每一个$n$都成立，对于前有限的$n$，要加上每一个都要加上一个足够大的常数，因此有下面的式子。

解决递归边界的代价：
$\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
取多项式最高次项，因此$T(n)=O(f(n))$;

2.2 使用归纳法证明结论（严谨）

上面的递归树分析只是大概得到了一个上界，下面使用数学归纳发证明上届也是下界。

Case1:

Case2:

Case3:

3 结论

1. 先使用非严谨的形式分析、猜想，然后用数学归纳法证明，这个思路贯穿整个导论一书；
2. 主定理由递归树推出，很多情形不符合主定理的假设，但是递归树+归纳法仍然可以解决，所以整个过程最有价值的是这套分析、证明方法，而非主定理。
3. 上面在使用归纳法证明时，渐进符号的威力惊艳了我！