1 问题

至此，总结一下已经研究过的排序算法：

insertion sort，$\Theta (n^2)$
merge sort, $\Theta (nlogn)$
quicksort, $\Theta (nlogn)$
heapsort,$\Theta (nlogn)$

• 从上面这个现象发现，这些算法的算法复杂度$\ge \Theta (nlogn)$;
• 从算法的细节上看，算法的最基本的思想是比较元素大小；

从上面的发现中，可以提出这样一个猜想：

所有基于比较的排序算法，算法复杂度$\ge \Theta (nlogn)$。

2 证明结论

数学证明的思路分两步，1⃣️找到一种更加抽象的数学结构表达各种基于比较排序算法；2⃣️研究这种抽象的数学结构的性质；3⃣️利用得到的性质说明结论。

2.1 Decision-tree（抽象数学结构）

这个决策树和Machine Learning里的决策树本质上是一个意思。

• 先看一个简单的例子
  
• 三个元素的Decision-tree很容易画出，但是$\ge 4$就不容易画出了，因为有$C_n^2$种比较，而每一次比较又有两种结果，这些比较的结果中一部分就可以决定全序…，已经超出人脑处理范畴，计算机也不太容易处理；
• 仔细品品基于比较的排序算法，也是一顿比较之后确定一个全序，而这顿比较恰恰是Decision-tree所有比较之一，也就是Decision-tree的一条路径；
• 不过我们不必过于纠结Decision-tree的细节结构，只需要知道它的存在性就足够解决我们今天的问题了，这就是数学抽象之美；

2.2 Decision-tree的数学性质

2.3 结论得证

决定基于比较的排序算法的复杂度是比较的次数，用decision tree就是某一个路径的高度$h$，现在已经证明整个二叉树的高度$h\ge \Omega (nlogn)$，那就说明基于比较的排序算法的复杂度$\ge \Omega (nlogn)$。

3 强调重点

• 决定基于比较的排序算法的复杂度是比较的次数；
• 在input确定的情况下，某种基于比较的排序算法的比较序列和decision tree的结构可以确定，该算法的比较序列只是decision tree的某一条路径；
• 基于比较的排序算法随机化后仍符合上面的逻辑框架，结论仍然成立；