强连通分量

强连通分量是有向图中的概念，就是每一个顶点到其它点都由路径，注意有方向.

有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。 定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。 算法伪代码如下

tarjan(u) 
{

    DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值

    Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中

    for each (u, v) in E               // 枚举每一条边

          if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

                  tarjan(v)              // 继续向下找

                  Low[u] = min(Low[u], Low[v])

            else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内

            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

    if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根

       repeat

           v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

           print v

      until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

 

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

 

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

 

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

 

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

 

 

#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,index,cnt;
int dfn[100],low[100],instak[100],group[100],group_cnt[100];//dfn 时间戳；low 最早的栈中节点的次序号 instak 是否入栈 group 每个点属于哪个组 group_cnt 每个组内点的个数
vector <int> graph[100],graph1[100]; //graph 原图的邻接表 graph1 缩点后的邻接表
int indu1[100] ;//缩点后个点的入度
stack <int> s;
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++index;
instak[u]=1;
s.push(u);
for(int i=0;i<graph[u].size();i++)
{
int k=graph[u][i];
if (! dfn[k])
{
tarjan(k);
low[u]=min(low[u],low[k]);
}
else if (instak[k])
low[u]=min(low[u],dfn[k]);
}
if (dfn[u]==low[u]){
cnt++;
int k;
printf("%d :",cnt);
do{
k=s.top();
group[k]=cnt;

instack[k]=0;
group_cnt[cnt]++;
s.pop();
printf("%d ",k);


}while(k!=u);
printf("\n");
}
}
void suodian(){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<graph[i].size();j++)
if(group[i]!=group[graph[i][j]]){
graph1[group[i]].push_back(group[graph[i][j]]);
indu1[group[graph[i][j]]]++;
}
}
int main(){
freopen("a.in","r",stdin) ;
index=0,cnt=0;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b) ;
graph[a].push_back(b);

}
for (int i=1;i<=n;i++){
if (!dfn[i])
tarjan(i);
}
suodian();
for (int i=1;i<=cnt;i++)
printf("%d :%d\n",i,indu1[i]);
return 0;
}